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FGV-SP Administração 2020
Estima-se que em cada um dos próximos 5 anos o PIB de um país cresça 5%.
Qual deverá ser a taxa de crescimento x constante, em cada um dos 5 anos seguintes, para que o PIB dobre daqui a 10 anos, em relação ao deste ano?
Use a tabela:
a
8,7% aproximadamente
b
10,4% aproximadamente
c
9,5% aproximadamente
d
9,1% aproximadamente
e
9,9% aproximadamente
Ver resposta
Ver resposta
Resposta
C
Resolução
Seja o PIB atual igual a 1 (valor arbitrário).
1. Evolução nos primeiros 5 anos
O enunciado informa crescimento anual de 5%. Isso é crescimento composto, logo
\[\text{PIB}_{5}=1\cdot(1+0,05)^{5}=1,05^{5}.\]Usando a propriedade dos expoentes com a ajuda da tabela:
\[1,05^{5}\approx1{,}28.\]2. Condição para dobrar em 10 anos
Deseja‑se que o PIB em 10 anos seja o dobro do atual, isto é
\[\text{PIB}_{10}=2.\]Logo, o fator de crescimento necessário no segundo quinquênio (anos 6 a 10) deve satisfazer
\[(1,05^{5})\,(1+x)^{5}=2.\]3. Encontrando a taxa anual x
Isolando \((1+x)^{5}:\)
\[(1+x)^{5}=\dfrac{2}{1,05^{5}}.\]Extraindo a quinta raiz:
\[1+x=\sqrt[5]{2}\,\big/\,1,05.\]Pela tabela fornecida, \(\sqrt[5]{2}=2^{1/5}\approx1{,}15.\)
\[1+x=\dfrac{1,15}{1,05}\approx1,095\quad\Longrightarrow\quad x\approx0,095=9,5\%.\]Resposta: 9,5 % (aprox.) → alternativa C.
Dicas
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Calcule primeiro o fator acumulado nos 5 primeiros anos.
Lembre-se de que dobrar em 10 anos significa multiplicar por 2.
Use a tabela: \(2^{1/5}\) já está pronta.
Erros Comuns
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Somar taxas (5 % + x) em vez de compor multiplicativamente.
Aplicar x durante 10 anos em vez de nos 5 anos finais.
Usar aproximações grosseiras da quinta raiz de 2.
Revisão
- Crescimento composto: um aumento percentual sucessivo multiplica o valor inicial por \((1+\text{taxa})^{n}\).
- Produtos de potências: se \(a^{n}\,b^{n}=(ab)^{n}\), então para igualar a dois períodos de 5 anos multiplicamos seus fatores.
- Radiciação de expoente fracionário: quinta raiz → expoente \(1/5\). A tabela já fornece \(2^{1/5}.\)
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