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IFRN 2017/1
Entre os vários modelos de pista de vaquejada que existem, a Figura mostra um desses modelos, em que a área da arena, composta pela área de ajuste do boi, faixa de pontuação e área de desaceleração, forma um trapézio isósceles ABCD, cuja área é
a
4.860𝑚².
b
4.608𝑚².
c
3.280𝑚² .
d
3.028𝑚².
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Resposta
B
Resolução
Para calcular a área do trapézio isósceles ABCD, precisamos conhecer o comprimento das duas bases paralelas e a altura.
- Identificação das bases
• Base maior \(\overline{AD}\): indicada na figura como 49 m.
• Base menor \(\overline{BC}\): indicada na figura como 15 m. - Comprimento dos lados não paralelos (as "pernas")
Na figura aparecem, ao longo de cada lado inclinado, as medidas 90 m + 5 m + 50 m. Somando-as:
\[ L = 90\,\text{m} + 5\,\text{m} + 50\,\text{m} = 145\,\text{m} \]
Assim, \(\overline{AB}=\overline{CD}=145\,\text{m}\). - Cálculo da altura
Num trapézio isósceles, a diferença das bases se reparte igualmente em cada projeção horizontal das pernas sobre a base:
\[ \frac{\,\overline{AD}-\overline{BC}\,}{2}=\frac{49-15}{2}=17\,\text{m} \]
Cada perna, portanto, forma um triângulo retângulo com cateto horizontal 17 m e hipotenusa 145 m; a cateto vertical será a altura \(h\):
\[ h = \sqrt{145^{2}-17^{2}} = \sqrt{21025-289} = \sqrt{20736}=144\,\text{m}. \] - Área do trapézio
\[ A = \frac{(\text{base maior}+\text{base menor})\times h}{2}=\frac{(49+15)\times144}{2}=\frac{64\times144}{2}=\frac{9216}{2}=4608\,\text{m}^2. \]
Logo, a área da arena é \(\boxed{4\,608\,\text{m}^2}\).
Dicas
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Quais segmentos da figura são paralelos? Eles são as bases do trapézio.
As medidas 90 m, 5 m e 50 m formam o comprimento do lado inclinado, não a altura.
Use Pitágoras em cada lado inclinado para encontrar a altura do trapézio.
Erros Comuns
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Somar as três medidas ao longo do lado e tomar o resultado (145 m) como altura, não perna.
Esquecer que a diferença das bases deve ser dividida por 2 antes de aplicar Pitágoras.
Usar 90 m (apenas a área de ajuste) como altura.
Aplicar a fórmula de área sem dividir por 2.
Revisão
- Trapézio isósceles: possui apenas dois lados paralelos (as bases) e os outros dois lados (as pernas) de mesma medida.
- Altura do trapézio: distância perpendicular entre as bases.
- Área do trapézio: \(A = \frac{(B+b)\,h}{2}\), em que \(B\) e \(b\) são as bases e \(h\) é a altura.
- Teorema de Pitágoras: em um triângulo retângulo, \(c^{2}=a^{2}+b^{2}\), permitindo encontrar a altura quando conhecemos a hipotenusa (perna) e a projeção horizontal.
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