UFPR 2019
Em uma reunião de condomínio, os moradores resolveram fazer um sorteio para decidir a ordem em que suas casas serão pintadas. As 8 casas desse condomínio estão dispostas conforme o esquema acima. Dizemos que duas casas são vizinhas quando estão dispostas de frente ou de lado. Por exemplo, a casa 3 é vizinha das casas 1, 4 e 5, enquanto a casa 8 é vizinha apenas das casas 6 e 7.
Qual é a probabilidade das duas primeiras casas sorteadas serem vizinhas?
5/28.
5/32.
5/14.
5/16.
9/56.
Resolução
Seja o sorteio feito em duas etapas sucessivas, sem reposição:
- Escolha da 1ª casa: qualquer uma das 8.
- Escolha da 2ª casa: uma das 7 que restam.
Logo, o número total de pares ordenados possíveis é \(8\times7 = 56\).
1. Contagem dos pares favoráveis
Precisamos apenas contar, para cada casa, quantos vizinhos ela possui (isto é, as casas que estão na mesma linha ou na mesma coluna imediatamente adjacentes):
- Casa 1: 2 vizinhos (2 e 3).
- Casa 2: 2 vizinhos (1 e 4).
- Casa 3: 3 vizinhos (1, 4, 5).
- Casa 4: 3 vizinhos (2, 3, 6).
- Casa 5: 3 vizinhos (3, 6, 7).
- Casa 6: 3 vizinhos (4, 5, 8).
- Casa 7: 2 vizinhos (5 e 8).
- Casa 8: 2 vizinhos (6 e 7).
Somando todos os vizinhos possíveis, obtemos \(2+2+3+3+3+3+2+2 = 20\) pares ordenados em que a segunda casa é vizinha da primeira.
2. Probabilidade
\[ \text{P(favorável)} = \dfrac{20}{56}=\dfrac{5}{14}. \]
Portanto, a probabilidade de as duas primeiras casas sorteadas serem vizinhas é \(\boxed{\tfrac{5}{14}}\).
Dicas
Erros Comuns
Conceitos-chave
- Probabilidade clássica: \(P=\dfrac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos possíveis}}\).
- Pares ordenados: quando a ordem dos sorteios importa, (A,B) e (B,A) contam como resultados distintos.
- Grau (número de vizinhos) de cada vértice em um grafo: ao somar todos os graus obtêm-se duas vezes o número de arestas; aqui cada aresta corresponde a duas ordens possíveis.
