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IFSudMinas 2013/2
Em uma pesquisa de mercado, verificou-se que 15 pessoas utilizam os produtos A ou B, sendo que algumas dessas utilizam A e B. O produto A é usado por 8 dessas pessoas, e o produto B, por 12 delas. Indique o número de pessoas que utilizam somente o produto A.
a
3
b
4
c
5
d
6
e
7
Ver resposta
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Resposta
A
Resolução
Solução passo a passo
Sejam:
- \(A\) = conjunto de pessoas que utilizam o produto A;
- \(B\) = conjunto de pessoas que utilizam o produto B.
As informações fornecidas:
- \(|A\cup B| = 15\) (total de entrevistados que usam A ou B);
- \(|A| = 8\);
- \(|B| = 12\).
1. Encontrar a interseção \(|A\cap B|\)
Usamos a fórmula do Princípio da Inclusão-Exclusão:
\[|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|\]
Substituindo os valores:
\[15 = 8 + 12 - |A\cap B|\]
Isolando \(|A\cap B|\):
\[|A\cap B| = 8 + 12 - 15 = 5\]
2. Calcular quantos usam somente A
O número de pessoas que utilizam apenas o produto A é:
\[|A\text{ somente}| = |A| - |A\cap B| = 8 - 5 = 3\]
Portanto, 3 pessoas utilizam somente o produto A.
Alternativa correta: A.
Dicas
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Use a fórmula |A ∪ B| = |A| + |B| – |A ∩ B| para achar quantos usam A e B ao mesmo tempo.
Depois, lembre-se de que quem usa apenas A é |A| menos quem usa A e B.
Faça as contas passo a passo para evitar erros de subtração.
Erros Comuns
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Somar simplesmente 8 e 12, esquecendo que a interseção foi contada duas vezes.
Achar que a interseção é 15-8 ou 15-12, confundindo conceitos.
Esquecer de subtrair a interseção ao calcular o número de usuários somente de A.
Revisão
Revisão de Conceitos
- Conjuntos: Coleções de elementos. Podemos representá-los por letras maiúsculas (A, B, etc.).
- União \((A\cup B)\): Elementos que pertencem a A ou B.
- Interseção \((A\cap B)\): Elementos comuns aos dois conjuntos.
- Princípio da Inclusão-Exclusão: Para dois conjuntos, \(|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|\). Ele evita contagem dupla dos elementos da interseção.
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