OBMEP 2014

Sejam:

• \(C\): grupo que toca instrumentos de corda (\(|C|=23\));
• \(S\): grupo que toca instrumentos de sopro (\(|S|=18\));
• \(P\): grupo que toca instrumentos de percussão (\(|P|=12\)).

São fornecidos ainda:

• \(|C\cap S| = 10\);
• \(|C\cap P| = 6\);
• \(|C \cap S \cap P| = 0\) (ninguém toca os três tipos).

Desconhecemos \(|S\cap P|\); chamemos esse valor de \(x\). Como o objetivo é encontrar o mínimo de componentes, precisamos maximizar o número de pessoas que pertencem simultaneamente a \(S\) e \(P\), pois cada pessoa nessa interseção “conta” para dois conjuntos ao mesmo tempo, reduzindo o total.

Construamos a decomposição dos conjuntos (diagrama de Venn):

• Somente corda: \(a\)
• Somente sopro: \(b\)
• Somente percussão: \(c\)
• Corda e sopro (apenas): \(d = 10\)
• Corda e percussão (apenas): \(e = 6\)
• Sopro e percussão (apenas): \(f = x\)

Como o triplo é zero, não há sobreposição entre os pares \((d\) e \(e)\). Assim:

\[\begin{aligned}a + d + e &= 23,\\b + d + f &= 18,\\c + e + f &= 12.\end{aligned}\]

Substituindo \(d=10\) e \(e=6\):

\[\begin{aligned}a &= 23 - 10 - 6 = 7,\\b &= 18 - 10 - x = 8 - x,\\c &= 12 - 6 - x = 6 - x.\end{aligned}\]

Como \(b, c \ge 0\):

\[\begin{aligned}8 - x &\ge 0 \;\Rightarrow\; x \le 8,\\6 - x &\ge 0 \;\Rightarrow\; x \le 6.\end{aligned}\]

Logo o maior valor possível é \(x = 6\).

Obtêm-se então:

• Somente corda: \(a = 7\)
• Somente sopro: \(b = 2\)
• Somente percussão: \(c = 0\)
• Corda e sopro: \(d = 10\)
• Corda e percussão: \(e = 6\)
• Sopro e percussão: \(f = 6\)

Total de componentes:

\[N = a + b + c + d + e + f = 7 + 2 + 0 + 10 + 6 + 6 = 31.\]

Portanto, o número mínimo de integrantes é 31.

Alternativa A.