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UEL 2011
Em uma máquina caça-níquel com 4 símbolos e 3 carretes, cada resultado é formado aleatoriamente por 3 símbolos dos 4 possíveis, como exibido na linha central da máquina de caça-níquel ao lado. Sabendo que se ganha quando se obtêm 3 símbolos diferentes ou quando se obtêm 3 símbolos iguais, qual é a probabilidade de ganhar?
a
7/16
b
9/16
c
35/64
d
3/4
e
43/64
Ver resposta
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Resposta
A
Resolução
A contagem deve ser feita sobre todos os resultados possíveis nos três carretéis.Total de resultados possíveisCada carretel pode exibir um dos 4 símbolos, independentemente dos demais. Logo, o número de resultados ordenados é \(4^3 = 64\).Casos favoráveis1. Três símbolos iguais (AAA): basta escolher qual símbolo será repetido.
Quantidade: \(4\) (um para cada símbolo).
Probabilidade: \(\frac{4}{64}=\frac{1}{16}\).2. Três símbolos diferentes (ABC em qualquer ordem):
• Escolha do conjunto de símbolos: \(\binom{4}{3}=4\).
• Permutação dos 3 escolhidos: \(3!=6\).
Quantidade: \(4\times6=24\).
Probabilidade: \(\frac{24}{64}=\frac{3}{8}\).Probabilidade de ganharSomando os dois casos favoráveis:\[P(\text{ganhar})=\frac{4+24}{64}=\frac{28}{64}=\frac{7}{16}.\]
Quantidade: \(4\) (um para cada símbolo).
Probabilidade: \(\frac{4}{64}=\frac{1}{16}\).2. Três símbolos diferentes (ABC em qualquer ordem):
• Escolha do conjunto de símbolos: \(\binom{4}{3}=4\).
• Permutação dos 3 escolhidos: \(3!=6\).
Quantidade: \(4\times6=24\).
Probabilidade: \(\frac{24}{64}=\frac{3}{8}\).Probabilidade de ganharSomando os dois casos favoráveis:\[P(\text{ganhar})=\frac{4+24}{64}=\frac{28}{64}=\frac{7}{16}.\]
Dicas
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Conte primeiro todos os resultados possíveis (pense em 3 espaços a serem preenchidos).
Separe as condições de vitória em duas categorias distintas e conte cada uma.
Lembre-se de que a ordem dos símbolos no visor importa quando você está enumerando os casos.
Erros Comuns
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Confundir combinação com permutação e esquecer de multiplicar por 3! na ordem dos símbolos diferentes.
Acreditar que obter dois símbolos iguais também é condição de vitória.
Não perceber que só existem 4 sequências de três iguais (uma por símbolo).
Revisão
- Princípio multiplicativo: se um evento é composto por etapas independentes, multiplica‐se o número de opções de cada etapa para obter o total de desfechos.
- Combinações \(\binom{n}{k}\): escolhem conjuntos (ordem não importa).
- Permutações de \(k\) elementos: \(k!\) formas de ordenar um conjunto já escolhido.
- Probabilidade clássica: \(P=\dfrac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos possíveis}}\).
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