UNIVAG 2015/2
Em uma malha quadriculada posicionada em um plano cartesiano, em que todos os quadradinhos possuem 1 cm de lado, uma pessoa desenhou um rosto, conforme mostra a figura.
Utilizando π = 3,14, o valor aproximado da área total da região do cabelo, em cm2, é
20.
18.
22.
16.
24.
Resolução
1. Identifique as figuras na região do cabelo
- O rosto está inscrito num quadrado de 8 cm × 8 cm. Logo, o circulo que representa a cabeça tem diâmetro 8 cm e raio r = 4 cm.
- A parte superior do rosto é a semicircunferência centrada em (4,4).
- O limite inferior do cabelo,
entre x = 0 e x = 4, é o arco da circunferência de centro (0,8) e raio 4 cm;
entre x = 4 e x = 8, é o arco da circunferência de centro (8,8) e raio 4 cm.
2. Equações dos contornos
- Semicírculo superior: \[ y_s(x)=4+\sqrt{16-(x-4)^2}\;,\; 0\le x\le 8. \]
- Arco esquerdo: \[ y_1(x)=8-\sqrt{16-x^2}\;,\; 0\le x\le 4. \]
- Arco direito (simétrico): \[ y_2(x)=8-\sqrt{16-(x-8)^2}\;,\; 4\le x\le 8. \]
3. Expressão da área solicitada
O cabelo é a região compreendida entre o semicírculo e os dois arcos. Graficamente ela é simétrica em relação ao eixo vertical x = 4; portanto
\[ A_{\text{cabelo}} = 2\int_{0}^{4}\bigl[ y_s(x)-y_1(x) \bigr]dx. \]Substituindo as equações:
\[ A_{\text{cabelo}} = 2\int_{0}^{4}\Bigl[4+\sqrt{16-(x-4)^2}\; - \bigl(8-\sqrt{16-x^2}\bigr)\Bigr]dx. \]Simplificando o integrando:
\[ A_{\text{cabelo}} = 2\int_{0}^{4}\Bigl[-4+\sqrt{16-(x-4)^2}+\sqrt{16-x^2}\Bigr]dx. \]4. Cálculo das integrais
Cada raiz representa um quarto de circunferência de raio 4 cm, logo
Assim,
\[ A_{\text{cabelo}} = 2\Bigl[(4\pi+4\pi) - 4\times4\Bigr] = 2\bigl(8\pi-16\bigr)=16\pi-32. \]5. Valor numérico
Adotando \(\pi = 3{,}14\):
Arredondando para o inteiro mais próximo, obtemos 18 cm2.
Resposta: B
Dicas
Erros Comuns
- Área de circunferência: \(A = \pi r^2\).
- Semicírculo: metade da área de um círculo.
- Quarto de circunferência: \(\dfrac{1}{4}\pi r^2\).
- Soma / subtração de áreas: quando a região não é elementar, ela pode ser vista como combinação (união ou diferença) de figuras conhecidas.
- Integração geométrica: o cálculo de \(\int \sqrt{r^2-x^2}\,dx\) fornece a área de um setor circular.
