OBMEP 2019

Em uma caixa há cinco bolas idênticas, com as letras O, B, M, E e P. Em uma segunda caixa há três bolas idênticas, com as letras O, B e M. Uma bola é sorteada da primeira caixa e, a seguir, outra bola é sorteada da segunda caixa.

Qual é a probabilidade de que essas bolas tenham a mesma letra?

a

1/6 

b

1/5 

c

1/4 

d

1/3 

e

1/2

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Resposta
B

Resolução

Chamemos as duas caixas de:

  • Caixa 1: O, B, M, E, P (5 bolas)
  • Caixa 2: O, B, M (3 bolas)

1. Método da soma das probabilidades condicionais

Seja a letra sorteada na primeira caixa igual a L. Queremos mesma letra, logo precisamos que L exista também na segunda caixa. As únicas letras em comum são O, B e M.

Para cada uma delas:

  • P(sair O na 1ª caixa) = \(\frac{1}{5}\) e, dado isso, P(sair O na 2ª caixa) = \(\frac{1}{3}\).
  • Mesma conta vale para B e M.

Assim,

\[\begin{aligned} P(\text{mesma letra}) &= 3 \times \left( \frac{1}{5} \times \frac{1}{3} \right)\\[4pt] &= 3 \times \frac{1}{15} = \frac{3}{15}=\frac{1}{5}. \end{aligned}\]

2. Método único (probabilidade composta)

Outra visão: primeiro precisamos tirar qualquer letra que exista na segunda caixa. A chance disso acontecer é \(\frac{3}{5}\) (são 3 letras úteis dentre 5). Uma vez que isso ocorreu, só há 1 bola certa nas 3 da segunda caixa, logo probabilidade condicional = \(\frac{1}{3}\).

Logo:

\[P=\frac{3}{5}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{5}.\]

Portanto, a alternativa correta é B) \(\frac{1}{5}\).

Dicas

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Quais letras aparecem em ambas as caixas?
Primeiro encontre a chance de sair uma dessas letras na primeira caixa.
Depois calcule a probabilidade de que, dada essa letra, ela se repita na segunda extração.

Erros Comuns

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Esquecer de multiplicar as probabilidades independentes.
Considerar apenas 2 letras em comum (O e B), esquecendo o M.
Achar que basta 1/3 (probabilidade na segunda caixa) sem ponderar a primeira extração.
Some students sum probabilities incorretamente, misturando casos dependentes.
Revisão
  • Probabilidade composta: quando dois eventos independentes ocorrem em sequência, multiplicamos as probabilidades.
  • Lei da soma: se os resultados são mutuamente exclusivos, somamos suas probabilidades.
  • Condição: ao restringir-se a um subconjunto de resultados (por exemplo, a letra já escolhida), usa-se probabilidade condicional.
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