PUC-Campinas 2019
Em um teatro, os ângulos sob os quais os espectadores enxergam o palco dependem da localização de suas poltronas na plateia. No esquema, que representa uma vista superior do teatro, os espectadores das poltronas E5 e N12 enxergam o palco sob ângulos de medidas, em graus, iguais a θ e β, respectivamente.
A poltrona E5 está localizada sobre o arco de circunferência A1. A poltrona N12, sobre o arco de circunferência A2, cujo centro pertence ao arco A1.
Nessas condições, é necessariamente verdadeira a relação:
θ + β = 90°
θ + β = 180°
θ = β
θ = β + 30°
θ = 2β
Resolução
Seja o segmento AB a extremidade do palco (a corda desenhada na parte inferior do círculo A₂).
1. Ângulo observado da poltrona N12 (β)
A poltrona N12 está sobre a circunferência A₂. Logo, o ângulo \(\beta\) é um ângulo inscrito que subtende o arco AB dessa circunferência.
Pelo Teorema do Ângulo Inscrito:
\[ \widehat{AOB}=2\beta \]
onde \(O\) é o centro de A₂.
2. Ângulo observado da poltrona E5 (θ)
A poltrona E5 está sobre o arco da circunferência A₁. Pela descrição, o centro \(O\) da circunferência A₂ também pertence a esse mesmo arco A₁; assim, os quatro pontos \(A,\,B,\,O,\,E\) são coplanares e pertencem à mesma circunferência A₁.
Nessa circunferência menor, os ângulos \(\theta=\widehat{AEB}\) e \(\widehat{AOB}\) são ângulos inscritos que subtendem exatamente o mesmo arco AB. Portanto, eles são congruentes:
\[ \theta = \widehat{AOB} \]
3. Relação entre θ e β
Juntando as igualdades obtidas:
\[ \theta = \widehat{AOB}=2\beta \]
Logo, a relação necessariamente verdadeira é
\( \boxed{\theta = 2\beta} \)
Dicas
Erros Comuns
- Ângulo inscrito: vértice na circunferência. Mede metade do arco que ele subtende.
- Ângulo central: vértice no centro da circunferência. Mede exatamente o arco que ele subtende.
- Ângulos inscritos que subtendem o mesmo arco são congruentes.
- Se quatro pontos pertencem à mesma circunferência, seus ângulos seguem as propriedades acima dentro dessa circunferência.
