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UNIFESO 2010/1
Em um sistema de coordenadas, o ponto P do eixo OY é equidistante dos pontos (2, 0) e (7, 3).
O ponto P é:
O ponto P é:
a
(0, 6).
b
(0, 7).
c
(0, 8).
d
(0, 9).
e
(0, 10).
Ver resposta
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Resposta
D
Resolução
Para que o ponto \(P\) esteja no eixo \(OY\), sua abscissa precisa ser nula, logo podemos escrevê-lo como \(P=(0,y)\).
Como \(P\) é equidistante de \(A=(2,0)\) e \(B=(7,3)\), impomos a igualdade entre os módulos das distâncias:
\[\sqrt{(2-0)^2 + (0-y)^2}=\sqrt{(7-0)^2 + (3-y)^2}\]
Ao eliminar as raízes:
\[(2)^2 + (y)^2 = (7)^2 + (3-y)^2\]
\[4 + y^2 = 49 + 9 - 6y + y^2\]
\[4 = 58 - 6y\]
\[-54 = -6y\quad\Rightarrow\quad y = 9\]
Portanto, \(P=(0,9)\). A alternativa correta é a letra D.
Como \(P\) é equidistante de \(A=(2,0)\) e \(B=(7,3)\), impomos a igualdade entre os módulos das distâncias:
\[\sqrt{(2-0)^2 + (0-y)^2}=\sqrt{(7-0)^2 + (3-y)^2}\]
Ao eliminar as raízes:
\[(2)^2 + (y)^2 = (7)^2 + (3-y)^2\]
\[4 + y^2 = 49 + 9 - 6y + y^2\]
\[4 = 58 - 6y\]
\[-54 = -6y\quad\Rightarrow\quad y = 9\]
Portanto, \(P=(0,9)\). A alternativa correta é a letra D.
Dicas
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Lembre-se: no eixo OY, x = 0.
Escreva as duas distâncias usando a fórmula geral e iguale-as.
Resolva a equação resultante para encontrar y.
Erros Comuns
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Esquecer que, por estar no eixo OY, a coordenada x é 0.
Igualar apenas as expressões dentro das raízes sem antes removê-las (pode gerar erro de sinal).
Calcular mal o quadrado da diferença (3−y)^2.
Revisão
- Distância entre pontos no plano cartesiano: \(d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\).
- Eixo \(OY\): conjunto de pontos de coordenadas \((0,y)\).
- Equidistância: igualdade das distâncias de um ponto a dois outros pontos gera uma equação que pode ser resolvida para encontrar o ponto desconhecido.
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