UNIFIMES 2018
Em um retângulo ABCD, sejam P, Q, R e S os pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente.
Se a área do retângulo ABCD vale 80 cm2, a área do losango PQRS vale
16 cm2.
10 cm2 .
40 cm2.
20 cm2.
32 cm2.
Resolução
Seja o retângulo \(ABCD\) com lados \(AB=a\) e \(BC=b\); logo, \(ab = 80\,\text{cm}^2\).
1. Coordenatização
Coloque o retângulo no plano cartesiano:
- \(A(0,0)\)
- \(B(a,0)\)
- \(C(a,b)\)
- \(D(0,b)\)
2. Pontos médios
- \(P\left(\frac{a}{2},0\right)\)
- \(Q\left(a,\frac{b}{2}\right)\)
- \(R\left(\frac{a}{2},b\right)\)
- \(S\left(0,\frac{b}{2}\right)\)
3. Verificando que é um losango
Os quatro lados de \(PQRS\) têm o mesmo comprimento, logo \(PQRS\) é um losango.
4. Diagonais do losango
- Diagonal \(PR\): pontos \(P\) e \(R\) têm mesma abscissa. Comprimento \(= b\).
- Diagonal \(QS\): pontos \(Q\) e \(S\) têm mesma ordenada. Comprimento \(= a\).
5. Área do losango
Para um losango, \(A = \dfrac{d_1\,d_2}{2}\). Assim:
\[\displaystyle A_{PQRS} = \frac{a\,b}{2} = \frac{80}{2} = 40\;\text{cm}^2.\]Resposta: 40 cm2 (alternativa C).
Dicas
Erros Comuns
Teorema dos pontos médios: Unindo os pontos médios dos lados de qualquer quadrilátero obtém-se um paralelogramo.
No caso específico de um retângulo, esse paralelogramo é um losango, pois todos os seus lados ficam com o mesmo comprimento.
A área de um losango é metade do produto de suas diagonais: \(A = \frac{d_1 d_2}{2}\).
