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UEA SIS 3ª Etapa 2017
Em um plano cartesiano, o gráfico da reta de equação 2x + y – 6 = 0 forma com o eixo x um ângulo obtuso β, conforme mostra a figura.
O valor de tg β é
a
–3.
b
–2.
c
–0,5.
d
0,5.
e
2.
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Resposta
B
Resolução
Da equação da reta
\(2x + y - 6 = 0\)
isolamos \(y\):
\(y = -2x + 6\).
Nessa forma (inclinação-ordenada na origem) o coeficiente angular é
\(m = -2\).
1. Relação entre coeficiente angular e tangente do ângulo
Para qualquer reta que não seja paralela ao eixo \(y\), vale:
\(\tan\theta = m\)
em que \(\theta\) é o ângulo medido do eixo x (lado positivo) até a reta, no sentido anti-horário, entre \(0^{\circ}\) e \(180^{\circ}\).
2. Identificando o ângulo obtuso
- Como \(m=-2<0\), a reta desce da esquerda para a direita.
- Isso gera:
- um ângulo agudo (abaixo do eixo x, de valor negativo);
- um ângulo obtuso \(\beta\) (acima do eixo x) tal que \(\beta = 180^{\circ}+\arctan(m)\) ou, equivalente, \(\beta = 180^{\circ}-|\arctan m|\).
Em ambos os casos a tangente permanece igual ao coeficiente angular:
\(\tan\beta = m = -2\).
3. Conclusão
Logo,
\(\boxed{\tan\beta=-2}\)
Dicas
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Reescreva a equação na forma y = mx + b e identifique m.
Lembre-se: tan(θ) = m.
O sinal de m indica se o ângulo é obtuso (>90°) ou agudo (<90°).
Erros Comuns
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Isolar y de forma incorreta, resultando em m=\(-\tfrac12\).
Esquecer que a tangente mantém o sinal do coeficiente angular, marcando 2.
Confundir coeficiente angular com intercepto.
Revisão
Conceitos-chave
- Equação da reta na forma \(y = mx + b\): o coeficiente angular \(m\) indica a inclinação.
- Ângulo da reta: o ângulo \(\theta\) entre a reta e o eixo x satisfaz \(\tan\theta = m\) (\(0^{\circ} < \theta < 180^{\circ}\)).
- Ângulo obtuso: quando \(m<0\), o ângulo obtuso fica entre \(90^{\circ}\) e \(180^{\circ}\); sua tangente é o próprio \(m\), portanto negativa.
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