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UEA-Específico Exatas 2020
Em um plano cartesiano, a função \(f(x)=-\frac{x^2}{4}+2x\) intersecta a reta r nos pontos P e \(V(4, k)\), sendo k um número real, conforme mostra a figura.
Se a reta r intersecta o eixo das ordenadas no ponto \(Q(0, 6),\) as coordenadas do ponto P são
a
\((3, 6).\)
b
\((4, 6).\)
c
\((6, 3).\)
d
\((6, 4).\)
e
\((4, 4).\)
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Resposta
C
Resolução
\(f(x)=-\dfrac{x^2}{4}+2x\)
\[\text{Reta }r:\ y=mx+b\]
Como \(Q(0,6)\in r\Rightarrow b=6\).
E \(V(4,k)\in r\cap f\).
Cálculo de \(k\) (par ordenado de V na parábola):
\[k=f(4)=-\dfrac{4^2}{4}+2\cdot4=-4+8=4\]\[\Rightarrow V(4,4).\]
Coeficiente angular da reta passando por \(Q(0,6)\) e \(V(4,4)\):
\[m=\dfrac{4-6}{4-0}=-\dfrac{1}{2}.\]
Logo, equação da reta:
\[r:\ y=-\dfrac{x}{2}+6.\]
P é o segundo ponto de interseção de \(r\) e \(f\). Então:
\[-\dfrac{x^{2}}{4}+2x=-\dfrac{x}{2}+6\]\[\times4: -x^{2}+8x=-2x+24\]\[-x^{2}+10x-24=0\]\[x^{2}-10x+24=0\Rightarrow(x-4)(x-6)=0\]\[x=4 \,(V)\ \text{ou}\ x=6\,(P).\]
Para \(x=6:\ y=-\dfrac{6}{2}+6=3\).
Assim, \(P(6,3).\)
\[\text{Reta }r:\ y=mx+b\]
Como \(Q(0,6)\in r\Rightarrow b=6\).
E \(V(4,k)\in r\cap f\).
Cálculo de \(k\) (par ordenado de V na parábola):
\[k=f(4)=-\dfrac{4^2}{4}+2\cdot4=-4+8=4\]\[\Rightarrow V(4,4).\]
Coeficiente angular da reta passando por \(Q(0,6)\) e \(V(4,4)\):
\[m=\dfrac{4-6}{4-0}=-\dfrac{1}{2}.\]
Logo, equação da reta:
\[r:\ y=-\dfrac{x}{2}+6.\]
P é o segundo ponto de interseção de \(r\) e \(f\). Então:
\[-\dfrac{x^{2}}{4}+2x=-\dfrac{x}{2}+6\]\[\times4: -x^{2}+8x=-2x+24\]\[-x^{2}+10x-24=0\]\[x^{2}-10x+24=0\Rightarrow(x-4)(x-6)=0\]\[x=4 \,(V)\ \text{ou}\ x=6\,(P).\]
Para \(x=6:\ y=-\dfrac{6}{2}+6=3\).
Assim, \(P(6,3).\)
Dicas
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Calcule primeiro a ordenada do ponto V usando a expressão da parábola.
Use Q e V para encontrar a equação da reta.
Iguale a reta à parábola e resolva a equação quadrática obtida.
Erros Comuns
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Assumir que k=6 em vez de calcular o valor correto na parábola.
Esquecer de tirar o ponto já conhecido (4,4) e acabar escolhendo essa alternativa.
Calcular erroneamente o coeficiente angular da reta, invertendo numerador/denominador.
Revisão
- Interseção de curvas: resolver o sistema igualando as expressões algébricas.
- Equação da reta: determinada por um ponto e o coeficiente angular, ou por dois pontos.
- Fatoração de trinômio quadrado para achar raízes.
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