ENEM 2016 terceira aplicação
Em um mapa cartográfico, cuja escala e 1 : 30 000, as cidades A e B distam entre si, em linha reta, 5 cm. Um novo mapa, dessa mesma região, será construído na escala 1 : 20 000.
Nesse novo mapa cartográfico, a distância em linha reta entre as cidades A e B, em centímetro, será igual a
1,50.
3,33.
3,50.
6,50.
7,50.
Resolução
Passo a passo da solução:
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Compreender o conceito de escala: A escala de um mapa (E) é a razão entre a distância no mapa (d) e a distância real (D). A fórmula é \( E = \frac{d}{D} \). A escala é geralmente expressa como 1 : N, o que significa que 1 unidade de medida no mapa corresponde a N unidades da mesma medida na realidade.
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Calcular a distância real (D) entre as cidades A e B usando o primeiro mapa:
- Escala do primeiro mapa (E1) = 1 : 30 000 ou \( E_1 = \frac{1}{30000} \)
- Distância no primeiro mapa (d1) = 5 cm
- Usando a fórmula da escala: \( \frac{1}{30000} = \frac{5 \text{ cm}}{D} \)
- Resolvendo para D: \( D = 5 \text{ cm} \times 30000 \)
- \( D = 150000 \text{ cm} \)
- Portanto, a distância real entre as cidades A e B é de 150 000 cm.
-
Calcular a distância no novo mapa (d2) usando a distância real (D) e a escala do novo mapa:
- Escala do novo mapa (E2) = 1 : 20 000 ou \( E_2 = \frac{1}{20000} \)
- Distância real (D) = 150 000 cm (calculada no passo anterior)
- Usando a fórmula da escala para o novo mapa: \( E_2 = \frac{d_2}{D} \)
- \( \frac{1}{20000} = \frac{d_2}{150000 \text{ cm}} \)
- Resolvendo para d2: \( d_2 = \frac{150000 \text{ cm}}{20000} \)
- \( d_2 = \frac{15}{2} \text{ cm} \)
- \( d_2 = 7,5 \text{ cm} \)
-
Conclusão: A distância em linha reta entre as cidades A e B no novo mapa cartográfico, com escala 1 : 20 000, será de 7,5 cm.
Método Alternativo (Relação entre escalas):
A distância no mapa (d) é inversamente proporcional ao denominador da escala (N), pois \( d = D \times E = D \times \frac{1}{N} \). Se a distância real (D) é constante:
\[ d_1 \times N_1 = d_2 \times N_2 \]
Onde \(d_1 = 5\) cm, \(N_1 = 30000\), e \(N_2 = 20000\).
\[ 5 \text{ cm} \times 30000 = d_2 \times 20000 \]
\[ 150000 \text{ cm} = d_2 \times 20000 \]
\[ d_2 = \frac{150000 \text{ cm}}{20000} = \frac{15}{2} \text{ cm} = 7,5 \text{ cm} \]
Ambos os métodos levam ao mesmo resultado.
Dicas
Erros Comuns
Revisão de Conceitos
Escala Cartográfica:
A escala de um mapa é a relação matemática entre as dimensões representadas no mapa e as suas dimensões reais no terreno. É expressa como uma razão (fração) ou proporção.
- Fórmula: \( \text{Escala} (E) = \frac{\text{Distância no mapa} (d)}{\text{Distância real} (D)} \)
- Representação: Comumente escrita como 1:N (escala numérica), onde 1 unidade no mapa equivale a N unidades na realidade (na mesma unidade de medida). Exemplo: 1:30 000 significa que 1 cm no mapa representa 30 000 cm (ou 300 metros) na realidade.
- Interpretação: Quanto menor o denominador (N), maior a escala (mais detalhes, menor área representada). Quanto maior o denominador (N), menor a escala (menos detalhes, maior área representada). Neste problema, a escala 1:20 000 é maior que a escala 1:30 000, o que significa que a mesma distância real será representada por um comprimento maior no mapa de escala 1:20 000.
Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
