UFMS 2019
Em outubro de 2018, na Indonésia, ocorreu um terrível acidente aéreo com um Boeing 737 Max 8 da empresa Lion Air, matando mais de 180 pessoas. O avião decolou do aeroporto com um ângulo de 20° na direção Leste-Oeste, por uma distância de 2 km, e em seguida se deslocou para o norte, por uma distância de 15 km, antes de perder o contato com a torre de comando.
(Dados: sen 20° = 0,34 e cos 20° = 0,94).
Nessa situação, a alternativa que dá, respectivamente, os módulos dos vetores deslocamento resultante nas direções vertical e horizontal é:
0,68 km e 14,32 km.
0,68 km e 15,12 km.
1,8 km e 14,32 km.
1,8 km e 16,64 km.
1,8 km e 19,25 km.
Resolução
Chamemos o ponto de decolagem de O. O percurso é formado por dois trechos consecutivos:
- Trecho 1: 2 km, formando 20° com o plano horizontal (direção Leste).
- Trecho 2: 15 km na direção Norte, em voo nivelado (sem ganho de altitude).
1. Componentes do trecho 1
Para um vetor que faz ângulo \(\theta\) com a horizontal:
- Componente vertical: \(V_z = V \cdot \sen\theta\)
- Componente horizontal: \(V_h = V \cdot \cos\theta\)
Com \(V = 2\,\text{km}\), \(\theta = 20°\), \(\sen 20° = 0,34\) e \(\cos 20° = 0,94\):
\[V_z = 2\,(0,34) = 0{,}68\;\text{km}\]
\[V_h = 2\,(0,94) = 1{,}88\;\text{km}\]
2. Deslocamento vertical resultante
Apenas o trecho 1 contribui na vertical, logo
\[\boxed{\;\Delta z = 0{,}68\;\text{km}\;}.\]
3. Deslocamento horizontal resultante
No plano horizontal há dois vetores perpendiculares:
- \(1{,}88\,\text{km}\) para Leste (trecho 1)
- \(15\,\text{km}\) para Norte (trecho 2)
O módulo do deslocamento horizontal é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por eles:
\[\Delta r_h = \sqrt{(1{,}88)^2 + (15)^2}\;\text{km}\]
\[(1{,}88)^2 = 3{,}53 \quad\text{e}\quad 15^2 = 225\]
\[\Delta r_h = \sqrt{228{,}53}\;\text{km} \approx 15{,}12\;\text{km}\]
4. Resposta
Os módulos procurados são:
Vertical: 0,68 km
Horizontal: 15,12 km
Alternativa B.
Dicas
Erros Comuns
Conceitos-chave
- Decomposição de vetores: qualquer vetor pode ser projetado em eixos perpendiculares usando seno e cosseno do ângulo que ele forma com cada eixo.
- Trigonometria: \(\sen\theta\) fornece a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa; \(\cos\theta\) fornece a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
- Teorema de Pitágoras: para componentes ortogonais \(x\) e \(y\), o módulo resultante é \(\sqrt{x^2 + y^2}\).
