UFMS 2018
Em geometria existem muitas simetrias, estudos dos ângulos internos e externos de uma figura. Nesse sentido, um aluno de Matemática desenhou um pentágono regular e, a partir dos seus vértices, traçou todas as diagonais. Assim, verificou a formação de uma estrela de cinco pontas, conforme a figura a seguir:
Ao somar os ângulos internos das pontas da estrela, o valor encontrado foi de:
1.440°.
540°.
180°.
108°.
36°.
Resolução
Considere que o pentágono regular está inscrito em uma circunferência. Como ele é regular, cada arco entre dois vértices consecutivos mede \(\dfrac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}\).
Para encontrar o ângulo interno de uma ponta da estrela, observe o vértice A. No pentagrama as arestas da estrela que chegam a A são as diagonais A C e A D. O ângulo entre essas duas diagonais é um ângulo inscrito que enxerga exatamente o arco \(\widehat{C D}\) da circunferência.
Mas C e D são vértices consecutivos do pentágono, logo o arco \(\widehat{C D}\) também mede \(72^{\circ}\). Pelo teorema do ângulo inscrito, o ângulo inscrito vale metade do arco que ele enxerga:
\[ \alpha = \dfrac{72^{\circ}}{2}=36^{\circ}. \]Como o pentágono é regular, todas as cinco pontas do pentagrama são congruentes, cada uma medindo \(36^{\circ}\).
Portanto, a soma dos ângulos internos das cinco pontas é
\[ 5 \times 36^{\circ}=180^{\circ}. \]Resposta: alternativa C.
Dicas
Erros Comuns
- Polígono regular: todos os lados e ângulos internos iguais; inscrito numa circunferência, seus vértices são equidistantes.
- Arco central de um polígono regular de \(n\) lados: \(\dfrac{360^{\circ}}{n}\).
- Ângulo inscrito: mede metade do arco que intercepta.
- No pentagrama, as pontas correspondem a ângulos inscritos formados por duas diagonais do pentágono.
