Para encontrar a expressão da função altura \(f(t)\), vamos analisar o gráfico fornecido e a descrição do movimento da roda-gigante.
1. Analisando o Gráfico de \(f(t)\):
O gráfico mostra a altura \(f(t)\) do ponto A em metros em função do ângulo \(t\) em radianos.
- Altura Máxima (\(H_{max}\)): O valor mais alto no gráfico é 168 metros.
- Altura Mínima (\(H_{min}\)): O valor mais baixo no gráfico é 8 metros.
- Período (P): O gráfico completa um ciclo entre \(t=0\) e \(t=2\pi\). Portanto, o período é \(2\pi\) radianos, que corresponde a uma volta completa da roda-gigante.
- Altura Inicial (\(f(0)\)): No instante inicial \(t=0\), a altura é \(f(0) = 88\) metros.
2. Determinando os Parâmetros da Função Senoidal:
Funções que descrevem movimentos periódicos como o da roda-gigante geralmente são senoidais, da forma:
\(f(t) = A \cdot \text{sen}(B(t - C)) + D\) ou \(f(t) = A \cdot \cos(B(t - C)) + D\)
Onde:
- \(A\) é a Amplitude: Metade da diferença entre a altura máxima e mínima.
\[ A = \frac{H_{max} - H_{min}}{2} = \frac{168 - 8}{2} = \frac{160}{2} = 80 \text{ metros} \]
Este valor corresponde ao raio da roda-gigante.
- \(D\) é o Deslocamento Vertical (Linha Média): A média entre a altura máxima e mínima.
\[ D = \frac{H_{max} + H_{min}}{2} = \frac{168 + 8}{2} = \frac{176}{2} = 88 \text{ metros} \]
Este valor corresponde à altura do centro da roda-gigante (ponto O) em relação ao solo.
- \(B\) está relacionado ao Período (P): \(P = \frac{2\pi}{|B|}\). Como o período é \(2\pi\), temos \(2\pi = \frac{2\pi}{|B|}\), o que implica \(|B| = 1\). Usaremos \(B=1\) pois a rotação é no sentido anti-horário (padrão).
- \(C\) é o Deslocamento de Fase (Horizontal): Determina a posição inicial.
3. Escolhendo entre Seno e Cosseno:
A função pode ser escrita como \(f(t) = 80 \cdot \text{sen}(t - C) + 88\) ou \(f(t) = 80 \cdot \cos(t - C) + 88\).
Vamos usar o ponto inicial \(t=0\), onde \(f(0)=88\).
- Testando Seno: \(f(0) = 80 \cdot \text{sen}(0 - C) + 88 = 88\)
\[ 80 \cdot \text{sen}(-C) = 0 \]
\[ \text{sen}(-C) = 0 \]
Isso implica \(-C = k\pi\) para \(k\) inteiro (..., -1, 0, 1, ...). Uma possível solução é \(C=0\). Se \(C=0\), a função é \(f(t) = 80 \cdot \text{sen}(t) + 88\).
Verifiquemos se esta função corresponde ao gráfico. Para \(t=0\), \(f(0) = 80 \cdot \text{sen}(0) + 88 = 88\). Para \(t=\pi/2\), \(f(\pi/2) = 80 \cdot \text{sen}(\pi/2) + 88 = 80 \cdot 1 + 88 = 168\) (máximo). Para \(t=\pi\), \(f(\pi) = 80 \cdot \text{sen}(\pi) + 88 = 80 \cdot 0 + 88 = 88\). Para \(t=3\pi/2\), \(f(3\pi/2) = 80 \cdot \text{sen}(3\pi/2) + 88 = 80 \cdot (-1) + 88 = 8\) (mínimo). A função \(f(t) = 80 \cdot \text{sen}(t) + 88\) corresponde perfeitamente ao gráfico.
- Testando Cosseno: \(f(0) = 80 \cdot \cos(0 - C) + 88 = 88\)
\[ 80 \cdot \cos(-C) = 0 \]
\[ \cos(-C) = 0 \]
Isso implica \(-C = \frac{\pi}{2} + k\pi\) para \(k\) inteiro. Possíveis valores para \(C\) são \(-\pi/2\), \(\pi/2\), \(3\pi/2\), etc. Se \(C = -\pi/2\), a função é \(f(t) = 80 \cdot \cos(t + \pi/2) + 88\). Usando a identidade \(\cos(x + \pi/2) = -\text{sen}(x)\), temos \(f(t) = -80 \cdot \text{sen}(t) + 88\). Esta função não corresponde ao gráfico (ela desceria a partir de t=0). Se \(C = \pi/2\), a função é \(f(t) = 80 \cdot \cos(t - \pi/2) + 88\). Usando a identidade \(\cos(x - \pi/2) = \text{sen}(x)\), temos \(f(t) = 80 \cdot \text{sen}(t) + 88\), que é a mesma função encontrada com seno e \(C=0\).
4. Verificação Geométrica:
A posição inicial de A (para \(t=0\)) está na horizontal, à direita do centro O. A altura inicial é a altura do centro O, que é \(D = 88\) m. O raio da roda é \(A = 80\) m.
Quando a roda gira um ângulo \(t\) no sentido anti-horário a partir da posição horizontal, a altura de A *relativa ao centro O* é dada pela componente vertical do raio. Usando um círculo trigonométrico centrado em O, com A começando em (80, 0), após uma rotação \(t\), as coordenadas de A são \((80\cos t, 80\sin t)\). A altura relativa ao centro O é \(80\sin t\).
A altura total \(f(t)\) em relação ao solo é a altura do centro O mais a altura de A relativa a O:
\[ f(t) = \text{Altura de O} + \text{Altura de A relativa a O} \]
\[ f(t) = 88 + 80 \sin(t) \]
Esta confirmação geométrica leva à mesma expressão: \(f(t) = 80\sin(t) + 88\).
Conclusão: A expressão correta para a função altura é \(f(t) = 80\sin(t) + 88\).
