UPE SSA 2016
Em 1964, durante o período de intensa pesquisa em busca de vida extraterrestre inteligente, o astrofísico russo Nikolai Kardashev assumiu que algumas civilizações galácticas poderiam estar a milhões ou bilhões de anos de desenvolvimento tecnológico à frente dos humanos. Baseado nesse princípio, Kardashev fez a seguinte proposta: classificar a busca dessas inteligências com base na medição de graus de desenvolvimento tecnológico. Esses graus seriam organizados de acordo com a quantidade de energia capaz de ser transformada por uma civilização. As escalas foram originalmente divididas em três:
Tipo I civilização capaz de utilizar toda a energia disponível em um planeta como a Terra, aproximadamente 1 x 1016 W.
Tipo II civilização capaz de utilizar toda a energia disponível em uma estrela como o Sol, aproximadamente 4 x 1026 W.
Tipo III civilização capaz de utilizar toda a energia disponível em uma galáxia, aproximadamente 4 x 1037 W.
Ainda sem atingir o Tipo I na escala, a civilização humana estuda a possibilidade de aproveitar a energia solar com uma menor atenuação da atmosfera terrestre. O projeto tem como objetivo instalar um grande painel solar para coletar radiação proveniente do Sol e fazer sua transmissão para a Terra via micro-ondas, suprindo parte da atual demanda por energia. Segundo a Agência Internacional de Energia, a estimativa de potência média mundial utilizada em 2012 foi de aproximadamente 1 x 1013 W. Entre quais constituintes do sistema solar, um painel de absorção circular de raio 40 km deveria ser instalado para coletar a mesma potência média utilizada na Terra, em todo o ano de 2012?
Entre o Sol e Mercúrio
Entre Mercúrio e Vênus
Entre Vênus e a Terra
Entre Marte e Saturno
Entre Júpiter e Netuno
Resolução
Queremos que o painel circular de raio r = 40 km = 4,0 \times 10^4 \text{ m} capte uma potência P = 1 \times 10^{13}\;\text{W}.
1. Fluxo solar a uma distância d
A luminosidade do Sol é aproximadamente L = 4 \times 10^{26}\;\text{W}. A potência irradia-se isotropicamente; logo, o fluxo (potência por área) a uma distância \(d\) do Sol é
\[ F(d)=\frac{L}{4\pi d^{2}}. \]
2. Potência captada pelo painel
A área do painel é \(A=\pi r^{2}\). Assim, a potência recebida é
\[ P = A\,F(d)=\pi r^{2}\;\frac{L}{4\pi d^{2}} = \frac{r^{2} L}{4d^{2}}. \]
3. Determinando a distância d
Igualando à potência desejada:
\[ P = \frac{r^{2}L}{4d^{2}} \;\;\Rightarrow\;\; d^{2}=\frac{r^{2}L}{4P}\;\;\Rightarrow\;\; d = r\,\sqrt{\frac{L}{4P}}. \]
Substituindo os valores:
\[ \frac{L}{4P}=\frac{4\times10^{26}}{4\times10^{13}} = 1\times10^{13},\quad \sqrt{10^{13}} = 10^{6,5} \approx 3{,}16\times10^{6}. \]
Logo,
\[ d = 4,0\times10^{4}\;\text{m}\;\times 3,16\times10^{6} \approx 1,26\times10^{11}\;\text{m}. \]
Convertendo para quilômetros:
\[ d \approx 1,26\times10^{8}\;\text{km} = 126\;\text{milhões de km}. \]
4. Comparação com as órbitas dos planetas
A tabela fornecida indica:
- Vênus: 108 milhões km
- Terra: 150 milhões km
Como 126 milhões km fica entre 108 e 150 milhões km, a instalação deve situar-se entre a órbita de Vênus e a da Terra.
Resposta: alternativa C.
Dicas
Erros Comuns
- Luminosidade (L): potência total emitida por uma fonte luminosa em todas as direções.
- Lei do inverso do quadrado: a densidade de potência diminui com o quadrado da distância (\(F\propto 1/d^{2}\)).
- Potência absorvida: \(P = F\times A\), onde \(A\) é a área coletora perpendicular à radiação.
- Conversão de unidades: atenção a metros, quilômetros e potências de 10.
