UCS verão 2015
É sabido que a medida da altura e a área de um triângulo equilátero variam de forma diretamente proporcional, respectivamente, à medida e ao quadrado da medida dos seus lados. Observe os gráficos a seguir.
Em quais dos gráficos está representada a variação, de acordo com a medida ℓ dos lados, da medida da altura e da área, respectivamente, de um triângulo equilátero?
I e II
I e III
II e III
II e IV
III e I
Resolução
Para um triângulo equilátero de lado \(\ell\):
- Altura: \(h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\ell\;\Rightarrow\;h\propto \ell\).
- Área: \(A=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\,\ell^{2}\;\Rightarrow\;A\propto \ell^{2}\).
Assim, o gráfico da altura em função do lado é uma reta passando pela origem, enquanto o da área é uma curva quadrática que também passa pela origem e cresce cada vez mais rapidamente.
Observando os esboços:
- (I) e (II) são retas; (II) é mais inclinada que (I).
- (III) e (IV) são curvas; (III) cresce de forma típica de uma parábola, enquanto (IV) é ainda mais íngreme (lembra exponencial ou cúbica).
Logo:
- Altura → gráfico (II) (reta).
- Área → gráfico (III) (parábola).
Portanto, a combinação correta é (II) para a altura e (III) para a área, correspondendo à alternativa C.
Dicas
Erros Comuns
Conceitos-chave
- Triângulo equilátero: possui os três lados congruentes.
- Altura do equilátero: \(h=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,\ell\) (proporcionalidade direta).
- Área do equilátero: \(A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}\,\ell^{2}\) (proporcionalidade ao quadrado do lado).
- Funções: linear (forma \(y=kx\)) gera reta; quadrática (forma \(y=kx^{2}\)) gera parábola com concavidade para cima.
- Análise de gráficos: identificar se a curva é reta, parábola, cúbica ou exponencial observando a inclinação variável.
