INSPER Tarde 2014/2
É fato conhecido por estudantes do ensino médio que uma circunferência de raio medindo R tem comprimento igual a 2\(\pi\)R. Porém, nem sempre a humanidade soube calcular tal comprimento, e para isso lançou mão de Aproximações. Um dos jeitos de se estimar o comprimento da circunferência é inscrevendo-se nela um polígono regular; quanto mais lados tiver o polígono, melhor a aproximação. A figura a seguir ilustra uma circunferência de raio medindo R e o octógono regular de lado medindo d nela inscrito.
Dessa forma, o comprimento da circunferência pode ser aproximado por 8d. Outra possibilidade é circunscrever um polígono regular, em vez de inscrever, como mostra a figura a seguir.
Nesse caso, o comprimento é aproximado por 8D.
O método descrito no texto também permite obter uma aproximação para a área do círculo. Utilizandose o octógono inscrito, a razão entre a área exata e a área aproximada do círculo é
Resolução
A questão pede a razão entre a área exata do círculo e a área aproximada do círculo, utilizando um octógono regular inscrito como aproximação.
1. Área Exata do Círculo:
A fórmula para a área exata de um círculo de raio R é:
\[ A_{exata} = \pi R^2 \]
2. Área Aproximada (Área do Octógono Inscrito):
O octógono regular inscrito pode ser dividido em 8 triângulos isósceles congruentes, com vértices no centro do círculo. Cada triângulo tem dois lados iguais ao raio R da circunferência e o ângulo entre esses lados é o ângulo central correspondente a um lado do octógono.
O ângulo central é \( \theta = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ \).
A área de um desses triângulos (\(A_{triangulo}\)) pode ser calculada usando a fórmula da área de um triângulo dados dois lados e o ângulo entre eles: \( \frac{1}{2}ab \sin(\theta) \).
\[ A_{triangulo} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \sin(45^\circ) \]
Como \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), temos:
\[ A_{triangulo} = \frac{1}{2} R^2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{R^2 \sqrt{2}}{4} \]
A área do octógono (\(A_{aprox}\)) é a soma das áreas dos 8 triângulos:
\[ A_{aprox} = 8 \times A_{triangulo} = 8 \times \frac{R^2 \sqrt{2}}{4} = 2 R^2 \sqrt{2} \]
3. Razão entre a Área Exata e a Área Aproximada:
A razão pedida é \( \frac{A_{exata}}{A_{aprox}} \).
\[ \text{Razão} = \frac{\pi R^2}{2 R^2 \sqrt{2}} \]
Simplificando \(R^2\):
\[ \text{Razão} = \frac{\pi}{2 \sqrt{2}} \]
Para racionalizar o denominador, multiplicamos o numerador e o denominador por \(\sqrt{2}\):
\[ \text{Razão} = \frac{\pi \cdot \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\pi \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{\pi \sqrt{2}}{4} \]
Portanto, a razão entre a área exata e a área aproximada do círculo usando o octógono inscrito é \( \frac{\pi \sqrt{2}}{4} \).
Comparando com as opções:
A opção E é , que representa \( \frac{\pi \sqrt{2}}{4} \).
Logo, a alternativa correta é a E.
Dicas
Erros Comuns
Para resolver esta questão, são necessários os seguintes conceitos:
- Área do Círculo: A área de um círculo de raio R é dada pela fórmula \( A = \pi R^2 \).
- Polígono Regular Inscrito: Um polígono é inscrito em uma circunferência se todos os seus vértices pertencem à circunferência.
- Área de um Polígono Regular: Um polígono regular pode ser decomposto em triângulos isósceles congruentes com vértice comum no centro do polígono (e da circunferência circunscrita).
- Área de um Triângulo (usando seno): A área de um triângulo pode ser calculada como metade do produto de dois lados multiplicado pelo seno do ângulo entre eles: \( A = \frac{1}{2}ab \sin(\theta) \).
- Ângulo Central de um Polígono Regular: Para um polígono regular de n lados, o ângulo central correspondente a um lado é \( \frac{360^\circ}{n} \). Para um octógono (n=8), o ângulo central é \( \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ \).
- Valores Trigonométricos Notáveis: É preciso saber que \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
- Racionalização de Denominadores: Processo de eliminar radicais do denominador de uma fração.
