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PUC-PR Verão Demais Cursos 2016
Durante um jogo de futebol, um goleiro chuta uma bola fazendo um ângulo de 30° com relação ao solo horizontal. Durante a trajetória, a bola alcança uma altura máxima de 5,0 m.
Considerando que o ar não interfere no movimento da bola, qual a velocidade que a bola adquiriu logo após sair do contato do pé do goleiro?
Use g = 10 m/s2
a
5,0 m/s.
b
10 m/s.
c
20 m/s.
d
25 m/s.
e
50 m/s.
Ver resposta
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Resposta
C
Tempo médio
2 min
Resolução
O movimento da bola é um lançamento oblíquo. A partir do instante em que deixa o pé do goleiro, a componente vertical da velocidade sofre a ação da gravidade e, no ponto mais alto, essa componente anula-se.
Altura máxima de um projétil:
\[ H = \frac{v_0^2\,\sin^{2}\theta}{2g} \]onde
- \(H = 5,0\,\text{m}\)
- \(\theta = 30^{\circ}\;\Rightarrow\;\sin\theta = \tfrac{1}{2}\;\Rightarrow\;\sin^{2}\theta = \tfrac{1}{4}=0{,}25\)
- \(g = 10\,\text{m/s}^2\)
Isolando \(v_0\):
\[ v_0^2 =\frac{2gH}{\sin^{2}\theta} \] \[ v_0^2 =\frac{2\,\cdot10\,\cdot5}{0{,}25}=\frac{100}{0{,}25}=400 \] \[ v_0 = \sqrt{400}=20\,\text{m/s} \]Resposta: 20 m/s (alternativa C).
Dicas
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Escreva a expressão da altura máxima em função de \(v_0\) e \(\theta\).
Lembre que \(\sin 30^{\circ}=1/2\).
Isole \(v_0\) e extraia a raiz quadrada ao final.
Erros Comuns
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Usar \(\sin\theta\) em vez de \(\sin^{2}\theta\).
Confundir altura máxima com alcance horizontal.
Esquecer de converter o ângulo para radianos (não é necessário em funções trigonométricas se a calculadora estiver em graus).
Revisão
Lançamento oblíquo
- A velocidade inicial \(v_0\) decompõe-se em:
\(v_{0x}=v_0\cos\theta\) (horizontal, constante) e \(v_{0y}=v_0\sin\theta\) (vertical, sujeito a \(g\)). - Altura máxima: \(H = \dfrac{v_{0y}^2}{2g}=\dfrac{v_0^2\sin^{2}\theta}{2g}\).
- No ponto mais alto a componente vertical da velocidade é zero.
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