ENEM 2014
Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão \(2^x \cdot 5^y \cdot 7^z\), na qual x, y, e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não múltiplo de 7.
O número de divisores de N, diferentes de N, é
$$x\cdot y\cdot z$$
$$(x+1) \cdot (y+1)$$
$$x\cdot y\cdot z - 1$$
$$(x+1) \cdot (y+1) \cdot z$$
$$(x+1) \cdot (y+1) \cdot (z+1)-1$$
Resolução
Passo a passo da solução:
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Interpretar as informações do enunciado:
O número N é dado por \(N = 2^x \cdot 5^y \cdot 7^z\), onde x, y, e z são inteiros não negativos (\(x, y, z \ge 0\)).
Temos duas condições sobre N:
- N é múltiplo de 10.
- N não é múltiplo de 7.
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Analisar a condição "N é múltiplo de 10":
Para N ser múltiplo de 10, ele deve ser divisível por 2 e por 5 simultaneamente. Isso significa que os fatores primos 2 e 5 devem estar presentes na sua fatoração. Portanto, os expoentes x e y devem ser maiores ou iguais a 1. Assim, \(x \ge 1\) e \(y \ge 1\). Isso já satisfaz a condição de serem inteiros não negativos.
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Analisar a condição "N não é múltiplo de 7":
Para N não ser múltiplo de 7, o fator primo 7 não pode estar presente em sua fatoração. Isso significa que o expoente z deve ser igual a 0. Assim, \(z = 0\).
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Determinar a forma simplificada de N:
Substituindo \(z = 0\) na expressão de N, temos:
\(N = 2^x \cdot 5^y \cdot 7^0 = 2^x \cdot 5^y \cdot 1 = 2^x \cdot 5^y\)
Lembrando que \(x \ge 1\) e \(y \ge 1\).
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Calcular o número total de divisores de N:
A fórmula para o número total de divisores de um número cuja fatoração em primos é \(p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot ... \cdot p_k^{a_k}\) é dada por \((a_1+1)(a_2+1)...(a_k+1)\).
Para \(N = 2^x \cdot 5^y\), o número total de divisores é \((x+1)(y+1)\).
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Calcular o número de divisores diferentes de N:
O enunciado pede o número de divisores de N que são *diferentes* de N. Como N é sempre um divisor de si mesmo, precisamos subtrair 1 do número total de divisores.
Número de divisores diferentes de N = (Número total de divisores) - 1
Número de divisores diferentes de N = \((x+1)(y+1) - 1\).
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Comparar com as alternativas:
Precisamos encontrar a alternativa que representa \((x+1)(y+1) - 1\), sabendo que \(z=0\).
- Alternativa A: \(x \cdot y \cdot z = x \cdot y \cdot 0 = 0\). Incorreta.
- Alternativa B: \((x+1)(y+1)\). Representa o número total de divisores. Incorreta.
- Alternativa C: \(x \cdot y \cdot z - 1 = x \cdot y \cdot 0 - 1 = -1\). Incorreta.
- Alternativa D: \((x+1)(y+1)z = (x+1)(y+1)(0) = 0\). Incorreta.
- Alternativa E: \((x+1)(y+1)(z+1) - 1\). Substituindo \(z=0\), temos \((x+1)(y+1)(0+1) - 1 = (x+1)(y+1)(1) - 1 = (x+1)(y+1) - 1\). Correta.
Portanto, a expressão que representa o número de divisores de N, diferentes de N, é \((x+1)(y+1)(z+1)-1\).
Dicas
Erros Comuns
Revisão de Conceitos
- Fatoração em Primos: Todo número inteiro maior que 1 pode ser escrito de forma única como um produto de números primos. Exemplo: \(12 = 2^2 \cdot 3^1\).
- Número de Divisores: Se a fatoração em primos de um número N é \(N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot ... \cdot p_k^{a_k}\), onde \(p_i\) são primos distintos e \(a_i \ge 0\) são inteiros, então o número total de divisores positivos de N é dado pelo produto \((a_1+1)(a_2+1)...(a_k+1)\).
- Múltiplos: Um número A é múltiplo de B se A é divisível por B, ou seja, se todos os fatores primos de B também são fatores primos de A, com expoentes iguais ou maiores. Por exemplo, para N ser múltiplo de 10 (\(10 = 2^1 \cdot 5^1\)), N deve ter a forma \(2^x \cdot 5^y \cdot ...\) com \(x \ge 1\) e \(y \ge 1\).
- Não Múltiplos: Um número A não é múltiplo de B se A não é divisível por B. Se B tem um fator primo \(p\), então para A não ser múltiplo de B, ou A não possui o fator primo \(p\) ou o expoente de \(p\) em A é menor que o expoente de \(p\) em B. No caso, para N não ser múltiplo de 7 (\(7 = 7^1\)), o expoente do fator primo 7 na fatoração de N deve ser 0.
Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
