ITA 2013
Duas partículas, de massas m e M, estão respectivamente fixadas nas extremidades de uma barra de comprimento L e massa desprezível. Tal sistema é então apoiado no interior de uma casca hemisférica de raio r, de modo a se ter equilíbrio estático com m posicionado na borda P da casca e M, num ponto Q, conforme mostra a figura. Desconsiderando forças de atrito, a razão m/M entre as massas é igual a
(L2 − 2r2 )/(2r2 ).
(2L2 − 3r2 )/(2r2 ).
(L2 − 2r2 )(r2 − L2 ).
(2L2 − 3r2 )/(r2 − L2 ).
(3L2 − 2r2 )/(L2 − 2r2 ).
Resolução
Sejam 𝐸 o centro da secção semicircular (raio \(r\)) e 𝑅 e 𝑄 os pontos de contato das massas \(m\) e \(M\) com a casca, respectivamente. Como não há atrito, as reações normais exercidas pela casca são sempre radiais, isto é, dirigidas ao longo dos raios \(\overrightarrow{OP}\) e \(\overrightarrow{OQ}\). Dessa forma, ao tomarmos torques em relação a 𝐸, essas forças de apoio não contribuem, pois têm linha de ação que passa pelo próprio ponto 𝐸.
1. Geometria do sistema
- Escolha um sistema de eixos cartesianos com origem em 𝐸, eixo x positivo para a direita e eixo y positivo para cima.
- A borda da casca coincide com o diâmetro superior (linha tracejada). Logo \(P\equiv (-r,0)\).
- Denotemos por \(\varphi\) o ângulo polar de \(Q\) medido a partir do extremo direito da borda (sentido anti-horário). Então \[Q = \bigl(r\cos \varphi , -r\sin \varphi \bigr)\qquad(0<\varphi<\pi/2).\]
- O bastão que une \(P\) a \(Q\) possui comprimento \(L\). Pelo teorema de Pitágoras no triângulo \(OPQ\):
\[L^2 = |PQ|^2 = \bigl[r(\cos\varphi+1)\bigr]^2 + \bigl(r\sin\varphi\bigr)^2 = r^2\bigl[(\cos\varphi+1)^2+\sin^2\varphi\bigr] = r^2\bigl[2+2\cos\varphi\bigr] = 2r^2(1+\cos\varphi).\]
Daí
\[\boxed{\cos\varphi = \dfrac{L^2-2r^2}{2r^2}.}\]
2. Equilíbrio de torques
Consideremos agora o corpo "bastão + massas" como um todo. As forças externas são:
- peso de \(m\): \(\vec{P}_m = (0,-mg)\) aplicado em \(P\);
- peso de \(M\): \(\vec{P}_M = (0,-Mg)\) aplicado em \(Q\);
- reações normais \(\vec{N}_P\) e \(\vec{N}_Q\), radiais, aplicadas em \(P\) e \(Q\).
Para o equilíbrio estático impõem-se
- \(\sum\vec{F}=\vec{0}\);
- \(\sum\vec{\tau}_{O}=\vec{0}\).
Ao calcular torques em relação a 𝐸, as reações não entram (braço nulo). Restam apenas os pesos:
Torque de \(m\): \(\vec{\tau}_m = \vec{OP}\times\vec{P}_m\). Como \(OP=(-r,0)\) e \(\vec{P}_m=(0,-mg)\), resulta \(\tau_m = +rmg\,\hat{z}\) (sentido anti-horário).
Torque de \(M\): \(\vec{\tau}_M = \vec{OQ}\times\vec{P}_M\). Com \(OQ=(r\cos\varphi,-r\sin\varphi)\) e \(\vec{P}_M=(0,-Mg)\), vem \(\tau_M = -rMg\cos\varphi\,\hat{z}\) (sentido horário).
O equilíbrio de torques exige \(\tau_m+\tau_M=0\), ou seja
\[ rmg - rMg\cos\varphi = 0\;\Longrightarrow\; \boxed{\dfrac{m}{M}=\cos\varphi}. \]
3. Substituindo a geometria
Usando a expressão encontrada para \(\cos\varphi\):
\[\boxed{\dfrac{m}{M}=\dfrac{L^2-2r^2}{2r^2}}.\]
4. Conclusão
A razão solicitada corresponde exatamente à alternativa A.
Dicas
Erros Comuns
Conceitos chave
- Reação normal sem atrito: atua perpendicularmente à superfície (no caso, ao longo do raio da circunferência).
- Braço de força: a distância perpendicular do ponto de rotação até a linha de ação da força; se a força passa pelo ponto, seu torque é nulo.
- Equilíbrio estático rígido: requer simultaneamente \(\sum\vec{F}=0\) e \(\sum\vec{\tau}=0\).
- Geometria de cordas em circunferências: o comprimento \(L\) de uma corda que subtende ângulo \(\varphi\) no centro é \(L = 2r\sin(\varphi/2)\) ou, equivalentemente, \(L^2 = 2r^2(1-\cos\varphi)\). Aqui utilizamos a forma com \(1+\cos\varphi\) pois o ângulo é medido a partir da borda superior.
