Ministério da Defesa - Aeronáutica 2023

Dados

• y₁(x,t)= –0,10 cos(2πx + 1600πt)
• y₂(x,t)= +0,10 cos(2πx – 1600πt)
• Comprimento da corda L = 1 m  (extremos fixos ⇒ nós em A e B)

1. Superposição das ondas

Somando y₁ e y₂:

\[\begin{aligned} y_R &= -A\cos(kx+\omega t) + A\cos(kx-\omega t)\\ &= A\,[\cos(kx-\omega t)-\cos(kx+\omega t)] \end{aligned}\] com \(A = 0{,}10\;\text{m}\) , \(k = 2\pi\,\text{rad/m}\) e \(\omega = 1600\pi\,\text{rad/s}.\)

Usando a identidade trigonométrica \(\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\,\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}\):

\[\cos(kx-\omega t)-\cos(kx+\omega t)=2\sin(kx)\,\sin(\omega t)\]

Logo

\[\boxed{y_R(x,t)=2A\sin(kx)\,\sin(\omega t)}\]

Substituindo A, k e ω:

\[y_R(x,t)=0{,}20\;\sin(2\pi x)\,\sin(1600\pi t)\]

2. Condição de ressonância (nós nos extremos)

Para extremidades fixas: \(L = n\dfrac{\lambda}{2}\).

Como \(k = 2\pi\Rightarrow \lambda = \dfrac{2\pi}{k}=1\text{ m}.\)

Com L = 1 m:

\[1 = n\frac{1}{2}\;\Longrightarrow\; n = 2\]

Trata-se, portanto, do 2.º harmônico (primeiro sobretono): dois ventres e três nós (nós nas extremidades e no centro).

3. Conferência com as alternativas

• A forma obtida é sen(2πx)·sen(1600πt) com amplitude 0,20 m.
• O desenho correspondente deve mostrar dois ventres (dois “meios-loops”) e um nó central.

A única opção que apresenta exatamente essa equação e esse perfil é a Alternativa D.

Resposta: D