OBMEP 2013
Duas formiguinhas partiram ao mesmo tempo e em direções diferentes de um mesmo vértice de um triângulo equilátero de lado 2 cm. Elas andaram sobre os lados do triângulo à velocidade de 1 cm/s, até retornar ao vértice inicial. Qual dos gráfi cos abaixo descreve a distância d entre as duas formiguinhas em função do tempo?
Resolução
Passo 1 – Dividir o percurso em intervalos de 2 s
Cada lado mede 2 cm e as formigas andam a 1 cm/s, logo gastam 2 s para percorrer cada lado. O percurso completo dura 6 s (perímetro 6 cm).
Passo 2 – Localizar as formigas em cada intervalo
0 s ≤ t ≤ 2 s
• F1: A → B • F2: A → C2 s ≤ t ≤ 4 s
• F1: B → C • F2: C → B (sentidos opostos)4 s ≤ t ≤ 6 s
• F1: C → A • F2: B → A
Passo 3 – Calcular d em cada intervalo
Coloque o vértice A na origem e formigas caminhando sobre raios que formam 60°. Se cada formiga está a distância s do vértice, a Lei dos Cossenos dá
\[d^2=s^2+s^2-2s^2\cos60^{\circ}=s^2\;\Rightarrow\;d=s.\]
Assim:
0–2 s: s = t ⇒ d = t (0 → 2 cm).
2–3 s: sejam s = t−2. As formigas caminham em sentidos opostos sobre BC.
Resulta \(d=2(1-s)=2(3-t)\): 2 → 0 cm.3–4 s: \(d=2(s-1)=2(t-3)\): 0 → 2 cm.
4–6 s: sejam u=t−4. Aplica-se novamente lei dos cossenos e obtém-se \(d=2-u=6-t\): 2 → 0 cm.
Passo 4 – Desenhar o gráfico
O gráfico é triangular, com picos de 2 cm nos instantes 2 s e 4 s e vales em 0 s, 3 s e 6 s.
Passo 5 – Escolher a alternativa
A alternativa que apresenta exatamente esse comportamento é a (D).
Dicas
Erros Comuns
- Lei dos Cossenos: em qualquer triângulo, \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\theta\).
- Movimento retilíneo uniforme: distância percorrida = velocidade × tempo.
- Gráficos de funções por partes: cada trecho do movimento gera um segmento de reta no gráfico d×t.
