ITA 1993

Seja a distância inicial entre os centros das esferas a (a << L). Como os fios são longos e as angulações pequenas, adotaremos as aproximações \(\sin\theta\approx\tan\theta\approx\theta\).

1. Situação inicial (duas esferas igualmente carregadas)

Afastamento horizontal de cada esfera em relação à vertical: \(x=\dfrac a2\).

Ângulo que o fio faz com a vertical: \(\theta\approx\dfrac{x}{L}=\dfrac{a}{2L}\).

Equilíbrio das forças sobre cada esfera:

• Peso: \(\,\vec{P}=m\,g\) (vertical).
• Tensão: \(\,\vec{T}\).
• Força elétrica repulsiva: \(\,\vec{F}=k\dfrac{q^{2}}{a^{2}}\) (horizontal).

Componentes horizontais e verticais:

\[T\sin\theta = F, \qquad T\cos\theta = m g.\]

Dividindo membro a membro: \(\tan\theta = F/(m g)\).

Substituindo \(\tan\theta \approx a/(2L)\):

\[\frac{a}{2L}=\frac{k q^{2}/a^{2}}{m g}\quad\Longrightarrow\quad k q^{2}=\frac{m g\,a^{3}}{2L}.\tag{1}\]

2. A descarga e o contato

Descarga-se totalmente uma das esferas; a carga total do sistema passa a ser apenas \(q\).

Ao se tocarem, sendo idênticas e condutoras, a carga divide-se igualmente:

\[q_\text{final}=\frac{q}{2}\quad\text{em cada esfera}.\]

3. Novo equilíbrio (repulsão com \(q/2\) em cada esfera)

Seja \(b\) a nova distância entre os centros (b << L).

Novamente, \(x'=b/2\) e \(\theta'\approx b/(2L)\).

Força elétrica agora:

\[F'=k\frac{(q/2)^2}{b^{2}}=\frac{k q^{2}}{4 b^{2}}.\]

Equilíbrio horizontal:

\[T'\sin\theta' = F' \;\;\Longrightarrow\;\; m g\tan\theta'=F'.\]

Com \(\tan\theta'\approx b/(2L)\):

\[m g\frac{b}{2L}=\frac{k q^{2}}{4 b^{2}}\quad\Longrightarrow\quad k q^{2}=\frac{2 m g\,b^{3}}{L}.\tag{2}\]

4. Relação entre a e b

Igualando (1) e (2):

\[\frac{m g\,a^{3}}{2L}=\frac{2 m g\,b^{3}}{L}\quad\Longrightarrow\quad \frac{a^{3}}{2}=2 b^{3}.\]

Isolando \(b\):

\[b^{3}=\frac{a^{3}}{4}\quad\Longrightarrow\quad b=\frac{a}{\sqrt[3]{4}}.\]

Logo, \(b = \dfrac{a}{\sqrt[3]{4}}\).

Alternativa correta: E.