OBMEP 2013
Duas circunferências são tangentes internamente, como na fi gura. Os segmentos AB e CD são perpendiculares e o ponto O é o centro da circunferência maior. Os segmentos AP e CQ medem, respectivamente, 4 e 3 centímetros. Qual é a medida do raio do círculo menor?
2,25 cm
2,5 cm
2,75 cm
3 cm
3,5 cm
Resolução
Seja R o raio da circunferência maior e r o raio da menor. Posicionemos o centro O na origem de um sistema cartesiano, fazendo o diâmetro AB coincidir com o eixo x e o diâmetro CD com o eixo y.
Como A e C são pontos extremos desses diâmetros, suas coordenadas são
\(A(-R,0)\) e \(C(0,R)\).
Os pontos dados pertencentes à circunferência menor são
- \(P(-R+4,0)\), pois \(AP=4\) sobre o eixo x.
- \(Q(0,R-3)\), pois \(CQ=3\) sobre o eixo y.
1. Onde está o centro da circunferência menor?
O ponto de tangência entre as circunferências está na região direita do desenho, sobre o diâmetro horizontal. Assim, a reta que une os centros (linha de centros) é horizontal, o que coloca o centro da circunferência menor, que chamaremos S, sobre o diâmetro AB. Logo sua ordenada é zero:
\[S(h,0).\]
2. Relação entre os raios
Como as circunferências são tangentes internamente, a distância entre os centros vale
\[OS = R-r.\]
Mas \(OS\) é simplesmente \(|h|\), daí
\[h = R-r.\]
3. Usando o ponto P
Pertencendo ao círculo menor, P satisfaz
\[(h-(-R+4))^2 + 0^2 = r^2\;\Longrightarrow\;(h+R-4)^2=r^2.\]
Substituindo \(h=R-r\):
\[(2R-r-4)^2=r^2\;\Longrightarrow\;2R-4=2r\;\Longrightarrow\;\boxed{r=R-2}.\]
4. Usando o ponto Q
Como Q também pertence ao círculo menor,
\[h^2+(R-3)^2=r^2.\]
Substituindo \(h=R-r\) e \(r=R-2\):
\[(R-(R-2))^2+(R-3)^2=(R-2)^2 \;\Longrightarrow\;2^2+(R-3)^2=(R-2)^2.\]
Desenvolvendo:
\[4+R^2-6R+9=R^2-4R+4\;\Longrightarrow\;-2R+9=0\;\Longrightarrow\;R=4,5\;\text{cm}.\]
5. Encontrando r
\[r = R-2 = 4,5-2 = \boxed{2,5\;\text{cm}}.\]
Dicas
Erros Comuns
- Tangência interna: quando um círculo está dentro do outro, a distância entre os centros é a diferença dos raios: \(OS = R-r\).
- Círculos e coordenadas: atribuir coordenadas convenientes (centro na origem, diâmetros sobre eixos) simplifica o uso da fórmula da circunferência.
- Condição de pertencimento: um ponto \((x_0,y_0)\) pertence a um círculo de centro \((a,b)\) e raio \(r\) se \((x_0-a)^2+(y_0-b)^2=r^2\).
- Geometria analítica é poderosa para resolver problemas de tangência e distância usando apenas álgebra.
