UFPR 2014
Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h em um curso de 45o em relação ao norte, no sentido horário. O segundo viaja a uma velocidade 6 km/h em um curso de 105o em relação ao norte, também no sentido horário. Após uma hora de viagem, a que distância se encontrarão separados os navios, supondo que eles tenham mantido o mesmo curso e velocidade desde que deixaram o porto?
10 km.
14 km.
15 km.
17 km.
22 km.
Resolução
Considere o porto como a origem de um sistema cartesiano onde:
- O eixo x aponta para o Leste.
- O eixo y aponta para o Norte.
1. Determinar os deslocamentos após uma hora
Como o tempo é de 1 h, o módulo do deslocamento de cada navio é numérico-mente igual à sua velocidade.
• Navio 1: 16 km em rumo de 45° (45° a Leste do Norte).
• Navio 2: 6 km em rumo de 105° (105° a Leste do Norte ⇒ 15° ao Sul do Leste).
2. Ângulo entre os vetores
O ângulo formado pelos dois rumos é simplesmente a diferença entre eles:
\[\alpha = 105^{\circ} - 45^{\circ} = 60^{\circ}.\]
3. Aplicar a Lei dos Cossenos
Sejam a=16 km, b=6 km e \(\alpha = 60^{\circ}\). A distância \(d\) entre os navios após 1 h é:
\[ d^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha \]
\[ d^{2}=16^{2}+6^{2}-2\cdot16\cdot6\cos60^{\circ} \]
\[ d^{2}=256+36-192\cdot\tfrac{1}{2}=256+36-96=196 \]
\[ \therefore\; d = \sqrt{196}=14\;\text{km}. \]
4. Resposta
B) 14 km.
Dicas
Erros Comuns
Rumo (bearing)
Medi-se a partir do Norte (0°) no sentido horário. Assim:
- 45°: Nordeste (45° a Leste do Norte).
- 105°: 90° (Leste) + 15° adicionais ⇒ 15° ao Sul do Leste.
Lei dos Cossenos
Para um triângulo com lados a, b, c e ângulo α oposto a c:
\[ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha. \]
Permite calcular a distância entre dois pontos quando conhecemos os módulos de dois vetores e o ângulo entre eles.
