ENEM 2009 (prova vazada)
Resolução
Para encontrar a área da região S, que é a interseção das duas regiões circulares de raio R, podemos seguir os seguintes passos:
-
Analisar a geometria da figura: A figura mostra dois círculos de raio R. Observando a imagem, notamos que a distância entre os centros dos círculos é igual ao raio R. Seja C1 o centro do círculo da esquerda e C2 o centro do círculo da direita. Sejam A e B os pontos onde as circunferências se interceptam.
Considere o triângulo formado pelos pontos C1, C2 e A. Temos que C1C2 = R (distância entre os centros), C1A = R (raio do círculo 1) e C2A = R (raio do círculo 2). Portanto, o triângulo C1C2A é equilátero, pois todos os seus lados medem R.
Da mesma forma, o triângulo C1C2B também é equilátero.
-
Determinar o ângulo do setor circular: Como os triângulos C1C2A e C1C2B são equiláteros, seus ângulos internos medem 60°. O ângulo central no círculo 1 que subtende o arco AB é o ângulo AC1B. Este ângulo é a soma dos ângulos AC1C2 e BC1C2. Como ambos são ângulos de triângulos equiláteros com vértice em C1, cada um mede 60°. Assim, o ângulo AC1B = 60° + 60° = 120°.
Convertendo para radianos (necessário para a fórmula da área do setor fornecida ou a padrão), temos: \( \alpha = 120^\circ \times \frac{\pi \text{ rad}}{180^\circ} = \frac{2\pi}{3} \text{ radianos} \).
-
Calcular a área do setor circular: A área do setor circular AC1B (delimitado pelos raios C1A, C1B e o arco AB) é dada por:
\[ A_{\text{setor}} = \frac{\alpha R^2}{2} = \frac{(2\pi/3) R^2}{2} = \frac{\pi R^2}{3} \]
-
Calcular a área do triângulo AC1B: A área do triângulo AC1B pode ser calculada usando a fórmula \( \frac{1}{2} ab \sin \theta \), onde a e b são dois lados e \( \theta \) é o ângulo entre eles.
\[ A_{\triangle AC1B} = \frac{1}{2} \times C1A \times C1B \times \sin(120^\circ) \]
\[ A_{\triangle AC1B} = \frac{1}{2} \times R \times R \times \sin(120^\circ) \]
Sabendo que \( \sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), temos:
\[ A_{\triangle AC1B} = \frac{1}{2} R^2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\sqrt{3} R^2}{4} \]
-
Calcular a área do segmento circular: A área do segmento circular (região entre a corda AB e o arco AB) é a área do setor menos a área do triângulo.
\[ A_{\text{segmento}} = A_{\text{setor}} - A_{\triangle AC1B} = \frac{\pi R^2}{3} - \frac{\sqrt{3} R^2}{4} \]
-
Calcular a área da região S: A região S é formada por dois segmentos circulares idênticos, um de cada círculo.
\[ A_S = 2 \times A_{\text{segmento}} = 2 \times \left( \frac{\pi R^2}{3} - \frac{\sqrt{3} R^2}{4} \right) \]
\[ A_S = \frac{2\pi R^2}{3} - \frac{2\sqrt{3} R^2}{4} \]
\[ A_S = \frac{2\pi R^2}{3} - \frac{\sqrt{3} R^2}{2} \]
Portanto, a área da região S é \( \frac{2\pi R^2}{3} - \frac{\sqrt{3} R^2}{2} \), que corresponde à alternativa A.
Dicas
Erros Comuns
Para resolver esta questão, são necessários os seguintes conceitos de geometria plana:
- Área de um Círculo: Embora não usada diretamente para S, a base é \( A = \pi R^2 \).
- Área de um Setor Circular: A área de uma "fatia" de círculo definida por um ângulo central \( \alpha \) (em radianos) e raio R é dada por \( A_{\text{setor}} = \frac{\alpha R^2}{2} \). Se o ângulo estiver em graus (\( \theta \)), a fórmula é \( A_{\text{setor}} = \frac{\theta}{360^\circ} \pi R^2 \).
- Área de um Triângulo: Pode ser calculada como \( \frac{\text{base} \times \text{altura}}{2} \). Alternativamente, dados dois lados (a, b) e o ângulo (\( \theta \)) entre eles, a área é \( \frac{1}{2} ab \sin \theta \).
- Triângulo Equilátero: Um triângulo com todos os lados iguais. Todos os ângulos internos medem 60°. Sua área é \( \frac{L^2 \sqrt{3}}{4} \), onde L é o lado.
- Área de um Segmento Circular: Região do círculo limitada por uma corda e um arco. Sua área é calculada subtraindo a área do triângulo formado pela corda e os raios até seus extremos da área do setor circular correspondente.
- Interseção de Círculos: A geometria da interseção depende da distância entre os centros e dos raios. No caso especial onde a distância entre os centros é igual ao raio, formam-se triângulos equiláteros com os pontos de interseção e os centros.
