Unit-AL 2017
Dois dos vértices de um triângulo são L(3, 7) e M(− 1, 4) e o terceiro vértice N equidista de L e M e está situado na 1ª bissetriz.
A abscissa do ponto N é
\(\frac{25}{14}\)
\(\frac{41}{14}\)
\(\frac{65}{14}\)
\(\frac{41}{7}\)
\(\frac{80}{7}\)
Resolução
Passo 1 – Encontre o ponto médio de \(\overline{LM}\).
\[L(3,7),\; M(-1,4)\]
\[P_{m}=\left(\frac{3+(-1)}{2},\;\frac{7+4}{2}\right)=\left(1,\frac{11}{2}\right)\]
Passo 2 – Equação da mediatriz de \(\overline{LM}\).
Coeficiente angular de \(LM\):
\[m_{LM}=\frac{4-7}{-1-3}=\frac{-3}{-4}=\frac34\]
A mediatriz é perpendicular, logo
\[m_{\perp}=-\frac43\]
Usando \(P_{m}(1,11/2)\):
\[y-\frac{11}{2}=-\frac43\,(x-1)\]
\[y=-\frac43x+\frac43+\frac{11}{2}= -\frac{8}{6}x+\frac{8}{6}+\frac{33}{6}= -\frac{8}{6}x+\frac{41}{6}\]
Passo 3 – Interseção com a 1ª bissetriz (\(y=x\)).
\[x=-\frac{8}{6}x+\frac{41}{6}\]
Multiplicando por 6:
\[6x=-8x+41 \;\Longrightarrow\;14x=41 \;\Longrightarrow\; x=\frac{41}{14}\]
Portanto, a abscissa do ponto \(N\) é \(\boxed{\dfrac{41}{14}}\).
Dicas
Erros Comuns
- Mediatriz de um segmento: é o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos dois extremos; sua equação é uma reta perpendicular ao segmento que passa pelo ponto médio.
- Bissetriz dos quadrantes ímpares: a primeira bissetriz é a reta \(y=x\).
- Interseção de retas: resolver o sistema formado pelas equações das duas retas fornece o ponto comum.
