UNCISAL 2016
Divisão euclidiana e o teorema fundamental da aritmética A divisão euclidiana, ou divisão com resto, é uma das quatro operações que toda criança aprende na escola. Sua formulação precisa é: dados a, 
existem q, 
e a = bq + r. Tais q e r estão unicamente determinados e são chamados o quociente e o resto da divisão de a por b, respectivamente.
Disponível em: <http://www.mat.puc- rio.br/~nicolau/papers/mersenne/node4.html>. Acesso em: 25 out. 2015 (adaptado).
Quais são, respectivamente, o resto e o quociente da divisão de -30 por -4?
-2 e 7.
0 e 7.
2 e 8.
7 e -2.
8 e 2.
Resolução
Queremos efetuar a divisão euclidiana de \(a=-30\) por \(b=-4\). Pela definição, existem inteiros \(q\) (quociente) e \(r\) (resto) tais que
\[ -30 = (-4)\,q + r, \qquad 0 \le r < |b| = 4. \]Primeiro, façamos a divisão comum:
\[ \frac{-30}{-4}=7{,}5. \]Isso sugere dois candidatos inteiros para \(q\): 7 ou 8.
• Se \(q=7\): \((-4)\cdot7=-28\). Então \(r=-30-(-28)=-2\), mas o resto não pode ser negativo.
• Se \(q=8\): \((-4)\cdot8=-32\). Então \(r=-30-(-32)=2\), e esse valor satisfaz \(0\le r<4\).
Portanto, o quociente é \(q=8\) e o resto é \(r=2\).
Resposta: resto 2 e quociente 8.
Dicas
Erros Comuns
- Divisão euclidiana: para inteiros \(a\) (dividendo) e \(b\ne0\) (divisor) existem únicos inteiros \(q\) (quociente) e \(r\) (resto) tais que \(a=bq+r\) e \(0\le r<|b|\).
- Resto sempre não-negativo: mesmo que o dividendo ou o divisor sejam negativos, o resto precisa estar no intervalo de 0 (inclusive) a \(|b|-1\) (inclusive).
- Ajuste do quociente: se o resto ficar negativo, aumente ou diminua o quociente em uma unidade até que o resto caiba em \([0,|b|[\).
