INSPER Análise Quantitativa e Lógica 2016/1
Dez dados convencionais não viciados serão lançados simultaneamente.
Se o produto dos números obtidos nas faces dos dados for igual a 22 · 35 · 52, então a maior soma possível dos números obtidos nas faces dos dez dados será
30.
31.
32.
33.
34.
Resolução
O problema pede a maior soma possível dos números obtidos nas faces de dez dados convencionais não viciados, sabendo que o produto desses números é \(P = 2^2 \cdot 3^5 \cdot 5^2\). As faces de um dado convencional são \({1, 2, 3, 4, 5, 6}\).
Sejam \(d_1, d_2, \dots, d_{10}\) os números obtidos nas faces dos dez dados. Cada \(d_i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). O produto é \(d_1 \cdot d_2 \cdot \dots \cdot d_{10} = 2^2 \cdot 3^5 \cdot 5^2\). Queremos maximizar a soma \(S = d_1 + d_2 + \dots + d_{10}\).
Primeiro, vamos analisar a fatoração em primos das possíveis faces do dado:
- 1 (não possui fatores primos)
- 2 = \(2^1\)
- 3 = \(3^1\)
- 4 = \(2^2\)
- 5 = \(5^1\)
- 6 = \(2^1 \cdot 3^1\)
O produto \(P = 2^2 \cdot 3^5 \cdot 5^2\) possui \(2+5+2=9\) fatores primos no total (contando multiplicidades). Como temos 10 dados, e o produto dos fatores primos das faces deve ser \(P\), isso significa que pelo menos um dos dados deve ter mostrado a face 1, pois a face 1 não contribui com fatores primos para o produto.
Vamos representar o conjunto das faces dos 10 dados como \(D = \{d_1, \dots, d_{10}\}\). Seja \(n_k\) o número de dados que mostram a face \(k\), onde \(k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Temos as seguintes condições:
- \(n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + n_5 + n_6 = 10\) (Total de dados)
- O produto das faces deve ser \(P\). Analisando os fatores primos:
\((2^{n_2}) \cdot (3^{n_3}) \cdot (4^{n_4}) \cdot (5^{n_5}) \cdot (6^{n_6}) = 2^2 \cdot 3^5 \cdot 5^2\)
\(2^{n_2} \cdot 3^{n_3} \cdot (2^2)^{n_4} \cdot 5^{n_5} \cdot (2 \cdot 3)^{n_6} = 2^2 \cdot 3^5 \cdot 5^2\)
\(2^{n_2 + 2n_4 + n_6} \cdot 3^{n_3 + n_6} \cdot 5^{n_5} = 2^2 \cdot 3^5 \cdot 5^2\)
Comparando os expoentes dos fatores primos, obtemos o seguinte sistema de equações para os inteiros não negativos \(n_2, n_3, n_4, n_5, n_6\):
- Expoente de 5: \(n_5 = 2\)
- Expoente de 3: \(n_3 + n_6 = 5\)
- Expoente de 2: \(n_2 + 2n_4 + n_6 = 2\)
A soma que queremos maximizar é \(S = 1 \cdot n_1 + 2 \cdot n_2 + 3 \cdot n_3 + 4 \cdot n_4 + 5 \cdot n_5 + 6 \cdot n_6\). Substituindo \(n_5=2\): \(S = n_1 + 2n_2 + 3n_3 + 4n_4 + 5(2) + 6n_6 = n_1 + 2n_2 + 3n_3 + 4n_4 + 10 + 6n_6\).
Também sabemos que \(n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + n_5 + n_6 = 10\). Substituindo \(n_5=2\): \(n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + 2 + n_6 = 10 \Rightarrow n_1 = 8 - (n_2 + n_3 + n_4 + n_6)\).
Para maximizar \(S\), devemos priorizar faces com valores maiores, especialmente a face 6, pois ela contribui mais para a soma por unidade de fator primo (6 = 2x3, soma 6; 2+3=5). Vamos analisar as possibilidades para \(n_6\) a partir da equação \(n_3 + n_6 = 5\) e \(n_2 + 2n_4 + n_6 = 2\).
- Caso 1: \(n_6 = 2\) (Máximo valor possível para \(n_6\), pois se \(n_6>2\), \(n_2 + 2n_4 + n_6 > 2\)).
Se \(n_6 = 2\), então \(n_3 = 5 - 2 = 3\).
A equação para o expoente de 2 fica: \(n_2 + 2n_4 + 2 = 2 \Rightarrow n_2 + 2n_4 = 0\). Como \(n_2, n_4 \ge 0\), a única solução é \(n_2 = 0\) e \(n_4 = 0\).
Agora encontramos \(n_1\): \(n_1 = 8 - (n_2 + n_3 + n_4 + n_6) = 8 - (0 + 3 + 0 + 2) = 8 - 5 = 3\).
Temos a combinação: \((n_1, n_2, n_3, n_4, n_5, n_6) = (3, 0, 3, 0, 2, 2)\).
Os dados são: {1, 1, 1, 3, 3, 3, 5, 5, 6, 6}.
A soma é: \(S = 3(1) + 0(2) + 3(3) + 0(4) + 2(5) + 2(6) = 3 + 0 + 9 + 0 + 10 + 12 = 34\). - Caso 2: \(n_6 = 1\)
Se \(n_6 = 1\), então \(n_3 = 5 - 1 = 4\).
A equação para o expoente de 2 fica: \(n_2 + 2n_4 + 1 = 2 \Rightarrow n_2 + 2n_4 = 1\). Como \(n_2, n_4 \ge 0\), a única solução é \(n_2 = 1\) e \(n_4 = 0\).
Agora encontramos \(n_1\): \(n_1 = 8 - (n_2 + n_3 + n_4 + n_6) = 8 - (1 + 4 + 0 + 1) = 8 - 6 = 2\).
Temos a combinação: \((n_1, n_2, n_3, n_4, n_5, n_6) = (2, 1, 4, 0, 2, 1)\).
Os dados são: {1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 6}.
A soma é: \(S = 2(1) + 1(2) + 4(3) + 0(4) + 2(5) + 1(6) = 2 + 2 + 12 + 0 + 10 + 6 = 32\). - Caso 3: \(n_6 = 0\)
Se \(n_6 = 0\), então \(n_3 = 5 - 0 = 5\).
A equação para o expoente de 2 fica: \(n_2 + 2n_4 + 0 = 2 \Rightarrow n_2 + 2n_4 = 2\). Possíveis soluções para \((n_2, n_4)\): \((2, 0)\) ou \((0, 1)\).
- Subcaso 3a: \((n_2, n_4) = (2, 0)\).
\(n_1 = 8 - (n_2 + n_3 + n_4 + n_6) = 8 - (2 + 5 + 0 + 0) = 8 - 7 = 1\).
Combinação: \((n_1, n_2, n_3, n_4, n_5, n_6) = (1, 2, 5, 0, 2, 0)\).
Dados: {1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 5, 5}.
Soma: \(S = 1(1) + 2(2) + 5(3) + 0(4) + 2(5) + 0(6) = 1 + 4 + 15 + 0 + 10 + 0 = 30\).
- Subcaso 3b: \((n_2, n_4) = (0, 1)\).
\(n_1 = 8 - (n_2 + n_3 + n_4 + n_6) = 8 - (0 + 5 + 1 + 0) = 8 - 6 = 2\).
Combinação: \((n_1, n_2, n_3, n_4, n_5, n_6) = (2, 0, 5, 1, 2, 0)\).
Dados: {1, 1, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 5}.
Soma: \(S = 2(1) + 0(2) + 5(3) + 1(4) + 2(5) + 0(6) = 2 + 0 + 15 + 4 + 10 + 0 = 31\).
Comparando as somas obtidas nos diferentes casos (34, 32, 30, 31), a maior soma possível é 34.
Portanto, a maior soma possível dos números obtidos nas faces dos dez dados é 34.
Dicas
Erros Comuns
Para resolver esta questão, são necessários os seguintes conceitos:
- Fatoração em Primos: Todo número inteiro maior que 1 pode ser escrito de forma única como um produto de números primos. Exemplo: \(12 = 2^2 \cdot 3^1\).
- Propriedades de Potências: Ao multiplicar potências de mesma base, somam-se os expoentes (\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)). Ao elevar uma potência a outro expoente, multiplicam-se os expoentes (\((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)).
- Dados Convencionais: Um dado padrão tem 6 faces numeradas de 1 a 6: \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\).
- Resolução de Sistemas de Equações: Habilidade para encontrar valores inteiros não negativos que satisfaçam múltiplas equações lineares simultaneamente.
- Otimização: Encontrar o valor máximo (ou mínimo) de uma função sujeita a certas restrições ou condições. Neste caso, maximizar a soma das faces dos dados, respeitando a condição do produto.
