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ACAFE Demais Cursos 2013/2
Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C sobre um mapa, sem escala.
Sabe-se que AB = 60km e AC = 110km, onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura a seguir.
Assim, a distância aproximada entre B e C, em km, é:
a
90 km
b
100,2 km
c
95,4 km
d
48,9 km
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Resposta
C
Resolução
Para determinar a distância entre as cidades B e C temos o triângulo ABC, em que:
- AB = 60 km
- AC = 110 km
- Ângulo \(\widehat{BAC}=60^{\circ}\)
Quando conhecemos dois lados de um triângulo e o ângulo compreendido entre eles, usamos a Lei dos Cossenos:
\[ BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\,AB\,AC\,\cos\left(\widehat{BAC}\right). \]Substituindo os valores:
\[ \begin{aligned} BC^{2}&=60^{2}+110^{2}-2\cdot60\cdot110\cdot\cos60^{\circ}\\[4pt] &=3600+12100-2\cdot60\cdot110\cdot\tfrac12\\[4pt] &=3600+12100-6600\\[4pt] &=9100. \end{aligned} \]Logo
\[ BC=\sqrt{9100}\approx95{,}4\text{ km}. \]Portanto, a distância aproximada entre as cidades B e C é de 95,4 km.
Dicas
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Desenhe o triângulo: os lados conhecidos formam um ângulo de 60°.
Relembre a fórmula da Lei dos Cossenos para o lado oposto ao ângulo conhecido.
Cuidado com o valor de \(\cos60^{\circ}\): é 0,5.
Erros Comuns
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Aplicar o Teorema de Pitágoras como se o triângulo fosse retângulo.
Usar valor errado para \(\cos60^{\circ}\) (0,6 ou 0,66).
Esquecer de multiplicar por 2 na expressão da Lei dos Cossenos.
Revisão
Lei dos Cossenos
Em qualquer triângulo ABC, com lados a, b, c (onde a é oposto ao ângulo A, etc.), vale:
\[ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A. \]Ela generaliza o Teorema de Pitágoras para triângulos não retângulos, permitindo calcular um lado quando se conhecem os outros dois e o ângulo entre eles.
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