FGV-SP Economia Manhã 2018
Dados, em um plano α, uma reta d e um ponto F fora dela, a parábola é o lugar geométrico dos pontos de α equidistantes de d e de F.
No plano cartesiano, se F tem coordenadas (5, 7) e d tem equação y = 3, então, a equação da parábola associada ao ponto F e à reta d é
y = 0,25x2 – 1,2x + 8,1.
y = 0,125x2 – 1,25x + 8,125.
y = 0,25x2 – 0,125x + 8,125.
y = 1,25x2 – 0,25x + 8,25.
y = 0,225x2 – 0,125x + 8.
Resolução
Seja \(P(x,y)\) um ponto qualquer da parábola. Pela definição, a distância de \(P\) ao foco \(F(5,7)\) deve ser igual à distância de \(P\) à reta diretriz \(d: y = 3\).
1. Distância ao foco
\[PF = \sqrt{(x-5)^2 + (y-7)^2}\]
2. Distância à reta diretriz
A distância de um ponto \((x,y)\) a uma reta horizontal \(y=3\) é o valor absoluto de \(y-3\):
\[PD = |y-3|\]
3. Igualando as distâncias
Para eliminar a raiz e o valor absoluto, elevamos ambos os lados ao quadrado:
\[(x-5)^2 + (y-7)^2 = (y-3)^2\]
4. Desenvolvendo
Expanda cada termo:
\[(x^2 -10x + 25) + (y^2 -14y + 49) = y^2 -6y + 9\]
Cancele \(y^2\) em ambos os lados:
\[x^2 -10x + 25 + 49 -14y = -6y + 9\]
Simplifique constantes:
\[x^2 -10x + 74 -14y = -6y + 9\]
Leve todos os termos para o mesmo lado:
\[x^2 -10x + 74 -14y + 6y - 9 = 0\]
\[x^2 -10x + 65 - 8y = 0\]
5. Isolando \(y\)
\[-8y = -x^2 + 10x -65\]
\[y = \frac{1}{8}x^2 - \frac{10}{8}x + \frac{65}{8}\]
Convertendo para notação decimal com vírgula:
\[y = 0,125x^2 - 1,25x + 8,125\]
6. Escolha da alternativa correta
A expressão obtida coincide exatamente com a alternativa B.
Dicas
Erros Comuns
- Parábola (definição geométrica): conjunto de pontos equidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma reta fixa (diretriz).
- Distância ponto–reta (reta horizontal): para \(y = k\), é simplesmente \(|y - k|\).
- Distância ponto–ponto: fórmula de distância no plano cartesiano \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\).
- Igualação das distâncias: eleva-se ao quadrado para remover a raiz e o valor absoluto, resultando numa equação quadrática em \(x\) e \(y\).
