FGV-RJ Administração, C. Sociais, Direito, História 2016
Dado um tetraedro regular de aresta 6 cm, assinale os pontos que dividem cada aresta em três partes iguais. Corte o tetraedro pelos planos que passam pelos três pontos de divisão mais próximos de cada vértice e remova os pequenos tetraedros regulares que ficaram formados.
A soma dos comprimentos de todas as arestas do sólido resultante, em centímetros, é
56.
32.
30.
36.
48.
Resolução
Seja \(T\) um tetraedro regular com aresta \(6\,\text{cm}\).
1. Marcação dos pontos
Cada aresta é dividida em três partes iguais. Portanto:
\[\text{comprimento do segmento}=\frac{6}{3}=2\,\text{cm}.\]
2. Corte dos vértices
Para cada vértice (\(A,B,C,D\)) traça-se o plano que passa pelos três pontos de trissecção mais próximos desse vértice. O corte remove um pequeno tetraedro regular cujas arestas medem \(2\,\text{cm}\).
Como os pontos escolhidos estão a \(\tfrac13\) da aresta, o pequeno tetraedro é semelhante ao tetraedro original com razão de semelhança \(\tfrac13\).
3. Sólido remanescente
Após eliminar os quatro pequenos tetraedros obtém-se um tetraedro truncado, que apresenta:
- 4 faces hexagonais;
- 4 faces triangulares (restos dos planos de corte);
- \(V=12\) vértices, \(E=18\) arestas (sólido arquimediano conhecido).
4. Comprimento das arestas
Existem dois tipos de aresta:
- Arestas centrais de cada aresta original: sobram \(2\,\text{cm}\) (parte média entre os pontos de trissecção).
- Arestas nos planos de corte: unem dois pontos de trissecção adjacentes ao mesmo vértice. Sejam, por exemplo, \(P\in AB\) e \(Q\in BC\) tais que \(BP=BQ=2\). Então
\[\overline{PQ}=\frac13\,\overline{AC}=\frac13\cdot6=2\,\text{cm}.\]
Logo todas as 18 arestas medem \(2\,\text{cm}\).
5. Soma total
\[S=18\times2=36\,\text{cm}.\]
Resposta: 36 (alternativa D).
Dicas
Erros Comuns
- Tetraedro regular: todos os lados iguais; todas as faces são triângulos equiláteros.
- Semelhança de tetraedros: se pontos são tomados na mesma razão em cada aresta a partir de um vértice, forma-se um tetraedro menor semelhante ao original.
- Truncamento: cortar vértices de um poliedro produz novas faces; no tetraedro resultam faces hexagonais e triangulares.
- Fórmula de Euler: \(V-E+F=2\) ajuda a confirmar número de arestas.
