UnirG 2017/2
Dada a parábola de equação y = – x2 + 8x – 12, pode-se afirmar corretamente que a distância entre o vértice e o ponto em que corta o eixo x de menor abscissa desta parábola é igual a:
√(5/4).
√(5/2).
√5.
2√5.
Resolução
Seja a parábola \(y = -x^{2}+8x-12\), com coeficientes \(a=-1\), \(b=8\) e \(c=-12\).
1. Vértice
O x do vértice de uma parábola \(y=ax^{2}+bx+c\) é \(x_{v}= -\dfrac{b}{2a}\).
\[x_{v}= -\dfrac{8}{2(-1)} = 4\]
Para obter o y do vértice:
\[y_{v}= -(4)^{2}+8\cdot4-12 = -16+32-12 = 4\]
Logo, o vértice é \((4,4)\).
2. Interseções com o eixo x
Para encontrar os pontos onde a parábola corta o eixo x, fazemos \(y=0\):
\[-x^{2}+8x-12 = 0 \quad\Leftrightarrow\quad x^{2}-8x+12 = 0\]
Fatorando: \((x-2)(x-6)=0\), obtêm-se as raízes
\[x_{1}=2, \quad x_{2}=6\]
O ponto de menor abscissa (menor x) é \((2,0)\).
3. Distância entre os pontos
A distância entre \((x_{1},y_{1})\) e \((x_{2},y_{2})\) é
\[d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}\]
Substituindo \((4,4)\) e \((2,0)\):
\[d = \sqrt{(4-2)^{2} + (4-0)^{2}} = \sqrt{2^{2}+4^{2}} = \sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\]
Portanto, a distância solicitada é \(2\sqrt{5}\).
Alternativa correta: D.
Dicas
Erros Comuns
- Vértice de uma parábola: para \(y=ax^{2}+bx+c\), o x do vértice é \(x_{v}=-\dfrac{b}{2a}\) e \(y_{v}=f(x_{v})\).
- Interceptação no eixo x: resolver \(ax^{2}+bx+c=0\); as soluções são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo.
- Distância entre dois pontos: \(d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}\).
