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PUC-Rio 2020
Da borda de um precipício, Clara chuta uma pedrinha, que sai com velocidade que é horizontal de 10m/s. Lá embaixo no solo, Henrique vê que a pedrinha cai a uma distância x da base do precipício que é a metade da sua altura h, como mostrado na figura.
Desprezando a resistência do ar, qual é a altura h, em metros?
Dado aceleração da gravidade = 10 m/s2
a
10
b
20
c
40
d
80
e
100
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Resposta
D
Tempo médio
3 min
Resolução
Como o chute é perfeitamente horizontal, o movimento da pedrinha pode ser decomposto em:
- Horizontal (eixo x): velocidade constante v0 = 10 m/s.
- Vertical (eixo y): queda livre, partindo do repouso, com aceleração g = 10 m/s2.
Sejam
- h: altura do precipício.
- x: alcance horizontal (medido da base).
O enunciado informa que a distância horizontal é metade da altura: \(x = \dfrac{h}{2}\).
1 – Tempo de queda
No eixo vertical temos queda livre a partir do repouso:
\[ h = \dfrac{1}{2} g t^{2} \Rightarrow t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}. \]2 – Alcance horizontal
No eixo horizontal há MRU:
\[ x = v_{0} \, t. \]Substituindo \(t\):
\[ x = v_{0}\sqrt{\dfrac{2h}{g}}. \]3 – Relação entre h e x
Como \(x = \dfrac{h}{2}\), temos:
\[ \frac{h}{2} = v_{0}\sqrt{\dfrac{2h}{g}}. \]Isolando h:
- Multiplicar ambos os lados por 2:
\[ h = 2 v_{0}\sqrt{\dfrac{2h}{g}}. \] - Elevar ao quadrado:
\[ h^{2} = 4 v_{0}^{2}\left(\dfrac{2h}{g}\right) = \dfrac{8 v_{0}^{2} h}{g}. \] - Dividir por h (\(h \neq 0\)):
\[ h = \dfrac{8 v_{0}^{2}}{g}. \]
4 – Cálculo numérico
\[ h = \dfrac{8 (10)^{2}}{10} = 8 \times 10 = 80\;\text{m}. \]Resposta: 80 m ⇒ alternativa D.
Dicas
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Escreva o tempo de queda apenas com h e g.
Substitua esse tempo na expressão do alcance horizontal.
Lembre-se de que x vale metade da altura.
Erros Comuns
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Esquecer que a velocidade inicial vertical é zero e usar equações de lançamento oblíquo com sen(θ).
Confundir a relação dada, tomando x = 2h em vez de x = h/2.
Não isolar h corretamente e dividir por t em vez de por h, chegando a resultado errado.
Usar g = 9,8 m/s², o que não altera muito mas pode levar a valor fora das alternativas.
Revisão
Conceitos-chave
- Lançamento horizontal: a velocidade inicial possui apenas componente horizontal; a vertical é zero.
- Independência dos movimentos: movimentos em x (MRU) e em y (MUV) são analisados separadamente, ligados apenas pelo mesmo tempo de voo.
- Equação da queda livre: \(y = \tfrac12 g t^{2}\) quando a velocidade vertical inicial é nula.
- Alcance em MRU: \(x = v t\).
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