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ITA 2005
Considere uma rampa de ângulo θ com a horizontal sobre a qual desce um vagão, com aceleração 
, em cujo teto está dependurada uma mola de comprimento l, de massa desprezível e constante de mola k, tendo uma massa m fixada na sua extremidade. Considerando que l₀ é o comprimento natural da mola e que o sistema está em repouso com relação ao vagão, pode-se dizer que a mola sofreu uma variação de comprimento ∆l = l - l₀ dada por
, em cujo teto está dependurada uma mola de comprimento l, de massa desprezível e constante de mola k, tendo uma massa m fixada na sua extremidade. Considerando que l₀ é o comprimento natural da mola e que o sistema está em repouso com relação ao vagão, pode-se dizer que a mola sofreu uma variação de comprimento ∆l = l - l₀ dada por
a
∆l = mgsenθ/k
b
∆l = mgcosθ/k
c
∆l = mg/k
d
e
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Resposta
E
Resolução
Solução passo a passo
Trabalharemos no referencial do vagão, que desce o plano inclinado com aceleração \(\vec a\). Nesse referencial o bloco de massa \(m\) está em repouso, portanto a soma de todas as forças deve ser nula.
1. Forças que atuam sobre a massa
- Peso: \(\vec P = m\vec g\) (para baixo, vertical).
- Força elástica (tração da mola): \(\vec T\), ao longo da mola, para cima em direção ao teto.
- Força fictícia de inércia: \(\vec F_f = m\vec a_f\), com \(\vec a_f = -\vec a\) (oposta ao movimento do vagão), isto é, para cima da rampa.
Como o corpo está em equilíbrio, o vetor tração deve ser o resultante de \(\vec P\) e \(\vec F_f\):
\[\vec T = -(\vec P + \vec F_f)\;\Rightarrow\;T = |\vec P + \vec F_f|.\]2. Módulo da resultante \(|\vec P + \vec F_f|\)
Precisamos do ângulo entre \(\vec g\) (vertical para baixo) e a força fictícia \(\vec F_f\) (para cima da rampa). A figura mostra que o plano faz um ângulo \(\theta\) com a horizontal; logo, o ângulo entre a vertical descendente e a direção para cima da rampa é
\[\alpha = 90^\circ + \theta.\]Aplicando a lei do cosseno ao triângulo que tem lados \(mg\) e \(ma\):
\[T = m\sqrt{g^{2}+a^{2}-2ga\,\cos\alpha}.\]Mas \(\cos\alpha = \cos\,(90^\circ+\theta) = -\sin\theta\). Portanto
\[T = m\sqrt{g^{2}+a^{2}-2ga(-\sin\theta)} \;\Longrightarrow\; T = m\sqrt{g^{2}+a^{2}-2ga\sin\theta}.\]3. Deformação da mola
Pela lei de Hooke, \(T = k\,\Delta l\). Assim,
\[\boxed{\displaystyle \Delta l = \frac{m}{k}\sqrt{g^{2}+a^{2}-2ga\sin\theta}}.\]Essa expressão corresponde exatamente à alternativa (E).
Dicas
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Adote o referencial que acompanha o vagão para que o bloco fique em repouso.
No novo referencial, inclua uma força fictícia de módulo \(ma\) dirigida para cima da rampa.
A tração da mola deve equilibrar o peso e a força fictícia; use a lei do cosseno para calcular seu módulo.
Erros Comuns
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Esquecer de introduzir a força fictícia quando se trabalha no referencial do vagão.
Usar apenas componentes (sen ou cos) do peso, como se a direção da mola fosse conhecida a priori.
Utilizar o ângulo \(90^\circ-\theta\) em vez de \(90^\circ+\theta\), trocando sen por cos.
Esquecer de extrair a raiz quadrada após aplicar a lei do cosseno.
Revisão
Conceitos-chave
- Referencial não inercial: quando o observador acelera, surge uma força fictícia \(\vec F_f = -m\vec a\) aplicada a todas as massas.
- Equilíbrio estático: no referencial em que o corpo está parado, a soma vetorial das forças (reais + fictícia) é nula.
- Lei de Hooke: a força de uma mola ideal é \(T = k\,\Delta l\).
- Composição vetorial: o módulo da resultante de dois vetores é obtido pela lei do cosseno.
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