UERJ 2014/1
Admitindo que a espessura do acrílico seja desprezível e que
= 1,7, a área, em cm2, do triângulo CAE equivale a:Resolução
1. Determine as dimensões do retângulo
Seja \(AB = x\) e \(AD = y\). O enunciado informa que a diagonal \(AC = 40\,\text{cm}\) e que o ângulo \(\widehat{BAC}=30^{\circ}\).
Aplicando o produto escalar entre os vetores \(\overrightarrow{AB}\) e \(\overrightarrow{AC}\):
\[ \cos30^{\circ}=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{AC}|}=\frac{x}{40} \]
Assim, \(x = 40\cos30^{\circ}=40\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}=20\sqrt3\,\text{cm}.\)
Pela relação pitagórica na diagonal,
\[ (20\sqrt3)^2+y^2=40^2\;\Longrightarrow\;1200+y^2=1600\;\Longrightarrow\;y=20\,\text{cm}. \]
Portanto o retângulo mede \(20\sqrt3\,\text{cm}\) de largura e \(20\,\text{cm}\) de altura.
2. Localize o ponto \(E\)
O corte \(AE\) forma um ângulo de \(45^{\circ}\) com o lado \(AD\) (vertical). Isso significa que, em módulo, seus componentes horizontal e vertical são iguais:
\[ |x_E-0|=|y_E-0| \Longrightarrow x_E=y_E. \]
Como \(E\) pertence ao lado inferior \(\overline{DC}\), temos \(y_E=20\), logo \(x_E=20\). Assim, \(E=(20,20).\)
3. Cálculo da área do triângulo \(\triangle CAE\)
Coordenadas dos vértices:
- \(A=(0,0)\)
- \(E=(20,20)\)
- \(C=(20\sqrt3,20)\)
Utilizando a forma vetorial da área:
\[ A=\frac12\,\bigl|\overrightarrow{AE}\times\overrightarrow{AC}\bigr|=\frac12\,\bigl|\,(20,20)\times(20\sqrt3,20)\bigr|. \]
O produto vetorial em 2-D reduz-se a
\[ \bigl|x_1y_2-x_2y_1\bigr|=|20\cdot20-20\sqrt3\cdot20|=400\,|1-\sqrt3|=400(\sqrt3-1). \]
Portanto,
\[ A=\tfrac12\cdot400(\sqrt3-1)=200(\sqrt3-1).\]
4. Valor numérico (\(\sqrt3\approx1{,}7\))
\[ A\approx200(1{,}7-1)=200\times0{,}7=140\,\text{cm}^2. \]
Resposta: 140 cm² (alternativa C).
Dicas
Erros Comuns
- Produto escalar: \(\vec u\cdot\vec v=|\vec u|\,|\vec v|\cos\theta\). Permite relacionar lados de um retângulo com sua diagonal e um ângulo.
- Propriedades do retângulo: lados perpendiculares; a diagonal forma um triângulo retângulo com os lados.
- Ângulo de 45° com o eixo vertical: igualdade entre os módulos dos componentes horizontal e vertical.
- Área de triângulo via determinante (ou produto vetorial): \(A=\tfrac12|x_1y_2-x_2y_1|\) quando se conhecem dois vetores oriundos de um mesmo vértice.
