Ministério da Defesa - Aeronáutica 2022
Considere um tronco de pirâmide obtido de uma pirâmide quadrangular regular.
Por esse tronco, passa-se um plano α paralelo às bases gerando um quadrilátero de área x cm2, tal que:
• a razão entre a distância da base menor do tronco ao plano α e a distância do plano α à base maior do tronco é igual a \(\frac{3}{2}\) ;
• a área da base maior do tronco mede 441 cm2 ; e
• a área da base menor do tronco mede 64 cm2 .
A área x do quadrilátero, em cm2 , é igual a
\(\frac{8441}{64}\)
\(\frac{12661}{81}\)
\(\frac{6241}{25}\)
\(\frac{4772}{16}\)
Resolução
Seções produzidas por planos paralelos às bases de uma pirâmide (ou de seu tronco) são polígonos similares às bases ⎯ portanto, quadrados cujos lados variam linearmente com a altura.
Sejam
- \(s_L\): lado da base maior (área \(441\;\text{cm}^2\));
- \(s_S\): lado da base menor (área \(64\;\text{cm}^2\));
- \(s_x\): lado da seção gerada pelo plano \(\alpha\);
- \(h\): altura do tronco;
- \(d_1\): distância da base menor até \(\alpha\);
- \(d_2\): distância de \(\alpha\) até a base maior.
Os dados fornecem
\[\frac{d_1}{d_2}=\frac{3}{2}\;\Longrightarrow\;d_1=3k,\;d_2=2k\, (k>0).\]
Altura do tronco: \(h=d_1+d_2=5k\).
1. Lados das bases
\[s_L=\sqrt{441}=21,\qquad s_S=\sqrt{64}=8.\]
2. Relação linear dos lados
Ao subir pela altura, o lado do quadrado decresce linearmente. A posição relativa do plano \(\alpha\) é
\[\frac{\text{distância da base maior até }\alpha}{\text{altura do tronco}}=\frac{d_2}{h}=\frac{2k}{5k}=\frac25.\]
Logo, o lado em \(\alpha\) é obtido por interpolação linear:
\[s_x=s_L+\frac25\,(s_S-s_L)=21+\frac25\,(8-21)=21-\frac{26}{5}=\frac{79}{5}=15{,}8.\]
3. Área da seção
\[x=s_x^2=\left(\frac{79}{5}\right)^2=\frac{79^2}{25}=\frac{6241}{25}\;\text{cm}^2.\]
Portanto,
\(\boxed{\dfrac{6241}{25}\;\text{cm}^2}\).
Dicas
Erros Comuns
- Semelhança de seções em pirâmides: quaisquer planos paralelos às bases geram seções semelhantes às próprias bases; todos os comprimentos são proporcionais à distância ao ápice.
- Interpolação linear: em sólidos semelhantes, medidas lineares variam na mesma razão das distâncias; áreas variam pelo quadrado dessa razão.
- Tronco de pirâmide: obter razões entre alturas permite relacionar lados (linear) e áreas (quadrática) das bases e de qualquer corte paralelo.
