UFRGS HIST MAT 2017

Sejam

• \(A,B,C,D,E\) os vértices do pentágono regular de lado 1;
• \(F,G,H,I,J\) os pontos médios de \(AB,BC,CD,DE,EA\), respectivamente.

1. Mostrar que \(\overline{FG}=\dfrac{\overline{AC}}{2}\)

Os pontos \(F\) e \(G\) são, por definição, os pontos médios dos lados \(AB\) e \(BC\). Escrevendo em forma vetorial,

\[\vec F=\dfrac{\vec A+\vec B}{2}, \qquad \vec G=\dfrac{\vec B+\vec C}{2}.\]

Assim,

\[\vec{FG}=\vec G-\vec F=\tfrac{1}{2}(\vec B+\vec C-\vec A-\vec B)=\tfrac{1}{2}(\vec C-\vec A)=\tfrac{1}{2}\vec{AC}.\]

Portanto

\[FG=\dfrac{AC}{2}.\]

2. Calcular a diagonal \(AC\)

No pentágono regular, o ângulo interno mede \(108^{\circ}\). Logo, no triângulo \(ABC\), temos

• \(AB=BC=1\);
• \(\widehat{ABC}=108^{\circ}\).

Pela Lei dos Cossenos,

\[AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\,AB\cdot BC\cos108^{\circ}=1^{2}+1^{2}-2\cos108^{\circ}=2-2\cos108^{\circ}.\]

Como \(\cos108^{\circ}=\cos(180^{\circ}-72^{\circ})=-\cos72^{\circ}\), temos

\[AC^{2}=2+2\cos72^{\circ}.\]

Sabe-se que \(\cos72^{\circ}=\dfrac{\sqrt5-1}{4}\). Então

\[AC^{2}=2+2\left(\dfrac{\sqrt5-1}{4}\right)=\dfrac{8+2\sqrt5-2}{4}=\dfrac{6+2\sqrt5}{4}=\dfrac{3+\sqrt5}{2}.\]

Tomando a raiz, obtém-se

\[AC=\dfrac{1+\sqrt5}{2}=\varphi\approx1{,}618.\]

3. Determinar \(FG\)

Do passo 1, \(FG=\dfrac{AC}{2}\). Assim,

\[FG=\dfrac{\varphi}{2}=\dfrac{1+\sqrt5}{4}.\]

Ora, \(\cos36^{\circ}=\dfrac{1+\sqrt5}{4}\). Logo

\[FG=\cos36^{\circ}.\]

A alternativa correta é a B.