AFA 2020
Considere um dioptro plano constituído de dois meios homogêneos e transparentes de índices de refração n1 = 1 e n2 = 4/3, separados por uma superfície S perfeitamente plana.
No meio de índice de refração n1 encontra-se um objeto pontual B, distante d, da superfície S, assim como, no outro meio encontra-se um objeto idêntico A, também distante d, da superfície do dioptro como mostra a figura abaixo.
A imagem A1 de A é vista por um observador O1 que se encontra no meio n1; por sua vez, a imagem B1 de B é vista por um observador O2 que se encontra no meio n2.
O dioptro plano é considerado perfeitamente estigmático e os raios que saem de A e B são pouco inclinados em relação à vertical que passa pelos dois objetos.
Considere que A e B sejam aproximados verticalmente da superfície S de uma distância d/2 e suas novas imagens, A2 e B2, respectivamente, sejam vistas pelos observadores O1 e O2.
Nessas condições, a razão dA/dB entre as distâncias, dA e dB, percorridas pelas imagens dos objetos A e B, é
9/16
3/8
3/4
8/3
Resolução
Para um dioptro plano, sob o regime paraxial, vale a equação
\[\frac{n_1}{s}+\frac{n_2}{s'}=0\]
em que
- s: distância real do objeto à superfície (contada no meio onde o objeto está);
- s': distância da imagem aparente à superfície (contada no meio do observador);
- n1, n2: índices dos meios do objeto e do observador, respectivamente.
1. Imagem de A (objeto no meio 2 – água)
Dados: n2=4/3, n1=1 e profundidade inicial \(s=d\).
Aplicando a fórmula:
\[s'_{A}= -\frac{n_1}{n_2}s = -\frac{1}{4/3}d = -\frac{3d}{4}.\]
A imagem A1 é, portanto, vista 3d/4 abaixo da superfície (lado da água).
Ao aproximar o objeto para \(s=d/2\):
\[s'_{A2}= -\frac{1}{4/3}\,\frac{d}{2}= -\frac{3d}{8}.\]
A distância percorrida pela imagem é
\[d_{A}=|s'_{A1}-s'_{A2}|=\frac{3d}{4}-\frac{3d}{8}=\frac{3d}{8}.\]
2. Imagem de B (objeto no meio 1 – ar)
Agora n1=1, n2=4/3 e \(s=d\).
Aplicando a fórmula:
\[s'_{B1}= -\frac{n_2}{n_1}s = -\frac{4/3}{1}d = -\frac{4d}{3}.\]
Como o sinal é negativo, a imagem B1 permanece no ar, a \(4d/3\) acima da superfície para quem está na água.
Para \(s=d/2\):
\[s'_{B2}= -\frac{4/3}{1}\,\frac{d}{2}= -\frac{2d}{3}.\]
Logo, a distância percorrida pela imagem:
\[d_{B}=|s'_{B1}-s'_{B2}|=\frac{4d}{3}-\frac{2d}{3}=\frac{2d}{3}.\]
3. Razão procurada
\[\frac{d_A}{d_B}=\frac{\dfrac{3d}{8}}{\dfrac{2d}{3}}=\frac{3}{8}\cdot\frac{3}{2}=\frac{9}{16}.\]
Resposta: \(\displaystyle \frac{9}{16}\) (alternativa A).
Dicas
Erros Comuns
- Dioptro plano: superfície plana que separa dois meios com índices de refração diferentes.
- Equação paraxial: \(n_1/s+n_2/s'=0\) quando o raio incide quase perpendicularmente à superfície e o raio refratado também é pouco inclinado.
- Imagem virtual: obtida do prolongamento dos raios refratados; não pode ser projetada em tela.
- Profundidade/aparente: objetos submersos vistos do ar parecem mais rasos (\(s'=(n_1/n_2)s\)); já objetos no ar vistos na água parecem mais distantes (\(s'=(n_2/n_1)s\)).
