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UFU 2012/2
Considere um balde para colocação de gelo o formato de um tronco de cone circular reto apresentando as seguintes medidas:
Considerando que esse balde esteja com 25% de sua capacidade ocupada com gelo derretido (água) e, consequentemente, com um volume de água igual a 0,097π litros, qual é valor (em cm) do raio da base maior R?
a
8,5
b
9
c
8
d
7,5
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Resposta
C
Resolução
Para determinar o raio da base maior \(R\) do tronco de cone,
começamos pela relação entre o volume de água presente e a capacidade total do balde.
1. Converter o volume dado para cm³
O enunciado informa 25 % da capacidade como \(0{,}097\pi\;\text{litros}\). Sabendo que 1 litro = 1000 cm³: \[ 0{,}097\pi\;\text{L}=0{,}097\pi\times1000\;\text{cm}^3=97\pi\;\text{cm}^3. \] 2. Obter a capacidade total
Se 97\(\pi\;\text{cm}^3\) correspondem a 25 % do volume total, então: \[ V_{\text{total}}= \frac{97\pi}{0,25}=4\times97\pi=388\pi\;\text{cm}^3. \] 3. Expressar o volume do tronco de cone
A fórmula do volume é \[ V=\frac{\pi h}{3}\bigl(R^{2}+Rr+r^{2}\bigr). \] O desenho fornece \(h=12\;\text{cm}\) e \(r=3\;\text{cm}\). Substituindo e igualando ao volume total: \[ \frac{\pi\cdot12}{3}\bigl(R^{2}+3R+9\bigr)=388\pi. \] 4. Simplificar
\(\tfrac{12}{3}=4\). Cancelando \(\pi\): \[ 4\bigl(R^{2}+3R+9\bigr)=388\quad\Rightarrow\quad R^{2}+3R+9=97. \] 5. Resolver a equação quadrática
\[ R^{2}+3R-88=0. \] Discriminante: \(\Delta=3^{2}+4\cdot88=9+352=361\Rightarrow\sqrt\Delta=19.\) Então \[ R=\frac{-3+19}{2}=8\;\text{cm}\quad(\text{valor positivo e válido}). \]
Logo, o raio da base maior é 8 cm.
1. Converter o volume dado para cm³
O enunciado informa 25 % da capacidade como \(0{,}097\pi\;\text{litros}\). Sabendo que 1 litro = 1000 cm³: \[ 0{,}097\pi\;\text{L}=0{,}097\pi\times1000\;\text{cm}^3=97\pi\;\text{cm}^3. \] 2. Obter a capacidade total
Se 97\(\pi\;\text{cm}^3\) correspondem a 25 % do volume total, então: \[ V_{\text{total}}= \frac{97\pi}{0,25}=4\times97\pi=388\pi\;\text{cm}^3. \] 3. Expressar o volume do tronco de cone
A fórmula do volume é \[ V=\frac{\pi h}{3}\bigl(R^{2}+Rr+r^{2}\bigr). \] O desenho fornece \(h=12\;\text{cm}\) e \(r=3\;\text{cm}\). Substituindo e igualando ao volume total: \[ \frac{\pi\cdot12}{3}\bigl(R^{2}+3R+9\bigr)=388\pi. \] 4. Simplificar
\(\tfrac{12}{3}=4\). Cancelando \(\pi\): \[ 4\bigl(R^{2}+3R+9\bigr)=388\quad\Rightarrow\quad R^{2}+3R+9=97. \] 5. Resolver a equação quadrática
\[ R^{2}+3R-88=0. \] Discriminante: \(\Delta=3^{2}+4\cdot88=9+352=361\Rightarrow\sqrt\Delta=19.\) Então \[ R=\frac{-3+19}{2}=8\;\text{cm}\quad(\text{valor positivo e válido}). \]
Logo, o raio da base maior é 8 cm.
Dicas
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Converta 0,097 L para cm³ antes de qualquer cálculo.
Lembre-se de que 25 % é um quarto do volume total.
Use a fórmula do volume de um tronco de cone e forme uma equação para R.
Erros Comuns
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Não converter litros para cm³, gerando valores 1000 vezes menores.
Esquecer de multiplicar por 4 ao passar de 25 % para 100 %, obtendo um volume total reduzido.
Aplicar fórmula de volume de cone completo (\(\pi r^{2}h/3\)) em vez do tronco.
Erro algébrico na resolução da equação quadrática (sinal ou cálculo do discriminante).
Revisão
- Tronco de cone circular reto: sólido obtido cortando um cone por um plano paralelo à base. Possui duas bases circulares de raios \(r\) (menor) e \(R\) (maior) e altura \(h\).
- Volume: \(V=\dfrac{\pi h}{3}\,(R^{2}+Rr+r^{2})\).
- Conversão de unidades: 1 litro = 1000 cm³.
- Relação porcentual: se um valor corresponde a certa porcentagem de um total, divide-se ou multiplica-se conforme necessário para encontrar 100 %.
- Equação do 2.º grau: \(ax^{2}+bx+c=0\Rightarrow x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.\)
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