ITA 1997
Resolução
O tetraedro possui 4 vértices (A, B, C e D) ligados dois a dois por 6 resistores idênticos de 100 Ω, formando um grafo completo K4. Queremos a resistência equivalente entre dois vértices quaisquer, por exemplo A-B ou C-D.
1. Simetria do problema
Devido à completa simetria do K4, qualquer par de vértices encontra-se exatamente na mesma situação elétrica. Assim, RAB=RCD=RAC=…
2. Análise nodal com simetria
• Fixe a tensão VA=1 V e VB=0 V.
• Pelas simetrias, os outros dois vértices (C e D) ficarão no mesmo potencial, que chamaremos de v (a determinar).
Aplicando a Lei das Correntes em C (ou em D):
\[(v-1)/R + (v-0)/R = 0\]\n\[(v-1)+v = 0 \Rightarrow 2v = 1 \Rightarrow v = \tfrac{1}{2}\text{ V}.\]
3. Corrente total que sai de A
• Para B (ligação direta): IAB = (1 V – 0 V)/R = 1/R.
• Para C e D: IAC = IAD = (1 V – 0,5 V)/R = 0,5/R.
Total:
\[I = \frac{1}{R} + 2\left(\frac{0,5}{R}\right) = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{2}{R}.\]
4. Resistência equivalente
\[R_{eq}=\frac{\Delta V}{I}=\frac{1\text{ V}}{2/R}=\frac{R}{2}.\]
Como R = 100 Ω:
\[R_{AB}=R_{CD}=\frac{100\,\Omega}{2}=50\,\Omega.\]
5. Resultado
RAB = RCD = 50 Ω.
Dicas
Erros Comuns
- Resistores em grafos completos (Kn): quando cada par de nós de um grafo está ligado por um resistor idêntico, o circuito apresenta grande simetria.
- Simetria elétrica: nós em situações equivalentes têm o mesmo potencial, reduzindo o número de incógnitas.
- Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK): a soma das correntes que chegam a um nó é zero (possibilita encontrar potenciais desconhecidos).
- Resistência equivalente entre dois nós: Req=ΔV/I, onde I é a corrente injetada (ou retirada) entre esses dois pontos quando se impõe uma diferença de potencial.
