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UFRGS HIS MAT 2018
Considere os números naturais de 1 até 100. Escolhido ao acaso um desses números, a probabilidade de ele ser um quadrado perfeito é
a
\(\frac{1}{10}\)
b
\(\frac{4}{25}\)
c
\(\frac{3}{10}\)
d
\(\frac{1}{2}\)
e
\(\frac{9}{10}\)
Ver resposta
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Resposta
A
Resolução
Em um universo de 100 números naturais (de 1 a 100), queremos contar quantos deles são quadrados perfeitos.
Os quadrados perfeitos são aqueles que podem ser escritos como \(n^2\) com \(n\in\mathbb{N}\). Basta verificar os inteiros cujo quadrado não ultrapassa 100:
\[
\begin{aligned}
1^2 &= 1 & 6^2 &= 36\\
2^2 &= 4 & 7^2 &= 49\\
3^2 &= 9 & 8^2 &= 64\\
4^2 &= 16 & 9^2 &= 81\\
5^2 &= 25 & 10^2 &= 100
\end{aligned}
\]
Há exatamente 10 valores (de 1 a 10) cujo quadrado permanece ≤ 100. Logo, o número de quadrados perfeitos entre 1 e 100 é 10.
A probabilidade é a razão entre casos favoráveis e o total de casos possíveis:
\[
P=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}.
\]
Portanto, a alternativa correta é a **A**.
Dicas
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Liste os valores de \(n\) tais que \(n^2\le 100\).
Conte quantos quadrados perfeitos aparecem.
Divida esse total por 100 e simplifique a fração.
Erros Comuns
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Esquecer de incluir 1 e 100 na lista de quadrados perfeitos.
Parar na raiz 9, ignorando 10² = 100.
Confundir a quantidade de quadrados (10) com o valor das próprias raízes (1 a 10) e dividir por 10 em vez de 100.
Revisão
- Quadrado perfeito: número que pode ser expresso como \(n^2\) com \(n\) inteiro.
- Princípio da contagem: contar casos favoráveis e dividir pelo total para obter probabilidade clássica.
- Raiz quadrada inteira: o maior \(n\) tal que \(n^2\le 100\) é 10, logo há 10 quadrados perfeitos.
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