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IMEPAC 2017
Considere os números m = 2017 e p = 2015. A soma dos dígitos do número x, tal que x = m2 – p2 , é igual a:
a
18.
b
19.
c
20.
d
21.
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Resposta
A
Resolução
Queremos calcular \(x = m^2 - p^2\), em que \(m = 2017\) e \(p = 2015\).
Observe que o termo \(m^2 - p^2\) é uma diferença de quadrados, logo podemos fatorar:
\[m^2 - p^2 = (m - p)(m + p).\]
Substituindo os valores:
\(m - p = 2017 - 2015 = 2\)
\(m + p = 2017 + 2015 = 4032\)
Assim,
\[x = 2 \cdot 4032 = 8064.\]
Para encontrar a soma dos dígitos de \(8064\), basta somar cada algarismo:
\(8 + 0 + 6 + 4 = 18.\)
Portanto, a soma dos dígitos é 18.
Alternativa correta: A.
Dicas
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Use a identidade (a² − b²) = (a − b)(a + b).
Calcule primeiro (m − p) e (m + p) antes de multiplicar.
Depois de obter o resultado, some seus algarismos um a um.
Erros Comuns
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Esquecer a propriedade da diferença de quadrados e tentar calcular 2017² e 2015² diretamente.
Somar ou subtrair m e p incorretamente (por exemplo, pensar que 2017+2015=4035).
Erros de atenção ao somar os dígitos do resultado final.
Revisão
- Diferença de quadrados: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).
- Soma de dígitos: para um número inteiro, soma-se cada algarismo separadamente.
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