Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais 2023
Considere o ponto A(−2,2,1) e os vetores \( \overrightarrow{u}\) =(2,1,−1) e \( \overrightarrow{v}\) =(1,2,1). Seja r a reta que passa por A e é perpendicular à família de planos gerados pelos vetores \( \overrightarrow{u}\) e \( \overrightarrow{v}\). Sabendo que θ é o menor ângulo formado pelas retas r e s, onde s é a interseção dos planos \(\pi\)1: x + 4y − 6 = 0 e \(\pi\)2: x + 2z = 0, é correto afirmar que
cos(θ)=0 ; r e s são ortogonais
cos(θ)=\(\frac{\sqrt{7}}{7}\); r e s são concorrentes.
cos(θ)=\(\frac{\sqrt{7}}{7}\); r e s são reversas.
cos(θ)=\(\frac{2\sqrt{7}}{7}\); r e s são concorrentes.
cos(θ)=\(\frac{2\sqrt{7}}{7};\) r e s são reversas.
Resolução
Passo 1 – vetor diretor da reta r
Se uma reta é perpendicular a todos os planos que contêm os vetores \(\vec u\) e \(\vec v\), então ela é paralela ao vetor normal desses planos, que é o produto vetorial
\[\vec n = \vec u\times \vec v.\]
\(\vec u=(2,1,-1)\) e \(\vec v=(1,2,1)\):
\[\vec n = \begin{vmatrix}\;\;\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\ 2 & 1 & -1\\ 1 & 2 & 1\end{vmatrix}= (1\cdot1-(-1)\cdot2,\;-(2\cdot1-(-1)\cdot1),\;2\cdot2-1\cdot1)=(3,-3,3).\]
Podemos usar o vetor diretor reduzido \(\vec d_r=(1,-1,1)\).
Assim, a reta r é
\[r:\;\left\{\begin{array}{l}x=-2+\lambda\\ y=2-\lambda\\ z=1+\lambda\end{array}\right.\quad(\lambda\in\mathbb R).\]
Passo 2 – reta s (interseção dos planos)
Planos:
\(\pi_1: x+4y-6=0\Rightarrow x=6-4y\).
\(\pi_2: x+2z=0\Rightarrow x=-2z\).
Igualando:
\(6-4y=-2z\Rightarrow z=-3+2y.\)
Tomando \(y=t\), temos
\[s:\;(x,y,z)=(6-4t,\;t,\;-3+2t)\quad(t\in\mathbb R),\]
com vetor diretor \(\vec d_s=(-4,1,2).\)
Passo 3 – ângulo entre as retas
\[\cos\theta=\frac{|\vec d_r\cdot\vec d_s|}{\|\vec d_r\|\,\|\vec d_s\|}.\]
Produto escalar:
\(\vec d_r\cdot\vec d_s =1(-4)+(-1)(1)+1(2)=-4-1+2=-3.\)
Usamos o valor absoluto:
|−3|=3.
Normas:
\(\|\vec d_r\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt3,\)
\(\|\vec d_s\|=\sqrt{(-4)^2+1^2+2^2}=\sqrt{21}.\)
Logo
\[\cos\theta=\frac{3}{\sqrt3\,\sqrt{21}}=\frac{3}{\sqrt{63}}=\frac{3}{3\sqrt7}=\frac1{\sqrt7}=\frac{\sqrt7}{7}.\]
Passo 4 – verificação de concorrência
S upondo que existe \(\lambda\) e \(t\) tais que os pontos coincidam:
\(\begin{cases}-2+\lambda=6-4t\\ 2-\lambda=t\\ 1+\lambda=-3+2t\end{cases}\)
De \(t=2-\lambda\) (segunda equação) e substituindo na primeira:
−2+λ = 6−4(2−λ) ⇒ −2+λ = −2+4λ ⇒ λ=0.
Então \(t=2\) e a terceira equação também é satisfeita.
Portanto as retas se interceptam no ponto \((-2,2,1)=A\); logo são concorrentes.
Conclusão
\(\cos\theta=\dfrac{\sqrt7}{7}\) e as retas são concorrentes. A alternativa correta é a B.
Dicas
Erros Comuns
1. Produto vetorial
O produto vetorial \(\vec a\times\vec b\) gera um vetor perpendicular a \(\vec a\) e \(\vec b\). Se dois vetores pertencem a um plano, esse produto é normal ao plano.
2. Equação paramétrica de reta
Uma reta é descrita por um ponto \(P_0(x_0,y_0,z_0)\) e um vetor diretor \(\vec d=(a,b,c)\):
\[x=x_0+at,\;y=y_0+bt,\;z=z_0+ct.\]
3. Interseção de planos
Dois planos não paralelos se cortam numa reta cujas coordenadas são obtidas resolvendo seu sistema.
4. Ângulo entre retas
Se \(\vec d_1\) e \(\vec d_2\) são vetores diretores, o menor ângulo \(\theta\) satisfaz
\[\cos\theta=\dfrac{|\vec d_1\cdot\vec d_2|}{\|\vec d_1\|\,\|\vec d_2\|}.\]
5. Concorrência e reversão
Retas concorrentes têm um ponto comum; retas reversas (ou escorregadas) não se interceptam nem são paralelas.
