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UFRGS HIST MAT 2016
Considere o padrão de construção representado pelos triângulos equiláteros abaixo.
O perímetro do triângulo da etapa 1 é 3 e sua altura é h; a altura do triângulo da etapa 2 é metade da altura do triângulo da etapa 1; a altura do triângulo da etapa 3 é metade da altura do triângulo da etapa 2 e, assim, sucessivamente.
Assim, a soma dos perímetros da sequência infinita de triângulos é
a
2
b
3
c
4
d
5
e
6
Ver resposta
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Resposta
E
Resolução
Para um triângulo equilátero, a altura \(h\) e o lado \(l\) estão relacionados por
\[h=\frac{\sqrt{3}}{2}\,l\, .\]
Se a altura é reduzida pela metade, o lado – e, consequentemente, o perímetro – também é reduzido pela metade.
1. Etapa 1
• Perímetro: \(P_1 = 3\)
2. Etapa 2
• Altura = metade da anterior \(\Rightarrow\) lado = metade \(\Rightarrow\) perímetro metade:
\(P_2 = \frac{3}{2}\)
3. Etapa 3
• Novamente metade do anterior:
\(P_3 = \frac{3}{4}\)
Assim forma-se a progressão geométrica
\[3,\;\tfrac{3}{2},\;\tfrac{3}{4},\;\tfrac{3}{8},\;\ldots\]
com razão \(q = \frac12\).
A soma infinita de uma PG converge quando \(|q|<1\) e vale
\[S = \frac{a_1}{1-q}.\]
Portanto
\[S = \frac{3}{1-\tfrac12} = \frac{3}{\tfrac12}=6.\]
Logo, a soma dos perímetros é \(\boxed{6}\).
Dicas
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Observe que altura, lado e perímetro se reduzem pelo mesmo fator.
Liste os três primeiros perímetros e identifique o tipo de sequência.
Use a fórmula da soma de PG infinita com razão menor que 1.
Erros Comuns
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Pensar que somente a área é dividida pela metade, não o perímetro.
Somar número insuficiente de termos da PG e supor que já atingiu o valor limite.
Confundir razão 1/2 com outra fração, obtendo valores como 4 ou 5.
Revisão
• Triângulo equilátero: \(h=\tfrac{\sqrt{3}}{2}l\).
• Se todos os comprimentos lineares são reduzidos por um fator \(k\), o perímetro também é reduzido pelo mesmo fator.
• Progressão geométrica infinita: para \(|q|<1\), \(S=\tfrac{a_1}{1-q}\).
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