UFRGS HIS MAT 2015
Considere o padrão de construção representado pelos desenhos abaixo.
Na etapa 1, há um único triângulo equilátero. Na etapa 2, é traçado um segmento a partir dos pontos médios de dois lados do triângulo da etapa 1, formando dois triângulos equiláteros. Na etapa 3, é traçado um segmento a partir dos pontos médios de dois lados do triângulo menor da etapa 2, formando três triângulos equiláteros. Na etapa 4 e nas etapas seguintes, o mesmo processo é repetido em cada um dos triângulos menores da etapa anterior.
O número de trapézios na 6ª etapa de construção é
14.
15.
16.
17.
18.
Resolução
Observe que, a cada etapa, traça-se um novo segmento paralelo à base do triângulo inicial.
- na etapa 1 não há segmento interno;
- na etapa 2 há 1 segmento interno;
- na etapa 3 há 2 segmentos internos;
- ⋯
- na etapa n haverá n − 1 segmentos internos.
Além desses segmentos, sempre existe a própria base do triângulo. Assim, na etapa n temos ao todo
\[\underbrace{(n-1)}_{\text{segmentos internos}}+\underbrace{1}_{\text{base}}=n\text{ linhas paralelas}.\]
Como contar os trapézios
Todo trapézio formado na figura tem:
- como lados não paralelos, os lados do triângulo original;
- como bases, duas dessas linhas paralelas (qualquer par!).
A contagem, portanto, reduz-se a escolher dois segmentos entre os n disponíveis. O número desses pares é o coeficiente binomial
\[\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}.\]
Aplicando à 6ª etapa
Para n = 6:
\[\binom{6}{2}=\frac{6\cdot5}{2}=15.\]
Logo, existem 15 trapézios na 6ª etapa.
Resposta: B
Dicas
Erros Comuns
- Trapézio: quadrilátero com dois lados paralelos. Na figura, os lados paralelos são quaisquer dois dos segmentos horizontais (incluindo a base).
- Contagem combinatória: quando cada trapézio é determinado pela escolha de 2 linhas dentre n, utiliza-se o número de combinações \(\binom{n}{2}\).
- Números triangulares: o valor \(\binom{n}{2}\) forma a sequência 1, 3, 6, 10, 15, … — exatamente os números triangulares.
