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EFOMM 2021
Considere o círculo abaixo de centro O e raio r O valor do seno do ângulo correspondente ao menor arco delimitado por uma corda de comprimento \(\frac{3r}{2}\)
a
\(0\)
b
\(-\frac{1}{8}\)
c
\(\frac{1}{8}\)
d
\(-\frac{3\sqrt{7}}{8}\)
e
\(\frac{3\sqrt{7}}{8}\)
Ver resposta
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Resposta
E
Resolução
Suponha que a corda AB de comprimento \(\dfrac{3r}{2}\) subtenda, no centro O da circunferência, o menor ângulo \(\alpha\).
1. Relação entre corda e ângulo central
\[|AB| = 2r\,\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\]
2. Igualando ao comprimento dado:
\[2r\,\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{3r}{2}\quad\Longrightarrow\quad \sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac34\]
3. Determinando \(\cos\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)\):
\[\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\sqrt{1-\sin^{2}\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}=\sqrt{1-\left(\dfrac34\right)^{2}}=\sqrt{\dfrac{7}{16}}=\dfrac{\sqrt7}{4}\]
4. Usando a fórmula de seno do ângulo duplo:
\[\sin\alpha = 2\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=2\cdot\dfrac34\cdot\dfrac{\sqrt7}{4}=\dfrac{6\sqrt7}{16}=\boxed{\dfrac{3\sqrt7}{8}}\]
1. Relação entre corda e ângulo central
\[|AB| = 2r\,\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\]
2. Igualando ao comprimento dado:
\[2r\,\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{3r}{2}\quad\Longrightarrow\quad \sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac34\]
3. Determinando \(\cos\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)\):
\[\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\sqrt{1-\sin^{2}\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}=\sqrt{1-\left(\dfrac34\right)^{2}}=\sqrt{\dfrac{7}{16}}=\dfrac{\sqrt7}{4}\]
4. Usando a fórmula de seno do ângulo duplo:
\[\sin\alpha = 2\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=2\cdot\dfrac34\cdot\dfrac{\sqrt7}{4}=\dfrac{6\sqrt7}{16}=\boxed{\dfrac{3\sqrt7}{8}}\]
Dicas
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Escreva o comprimento da corda em função de \(\sin(\alpha/2)\).
Encontre \(\sin(\alpha/2)\) e depois use a identidade do ângulo duplo para achar \(\sin\alpha\).
Erros Comuns
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Esquecer que a fórmula da corda envolve \(\sin(\alpha/2)\), não \(\sin\alpha\).
Calcular \(\cos(\alpha/2)\) erroneamente, esquecendo de extrair a raiz.
Trocar o sinal, pensando que poderia ser negativo.
Revisão
• Corda e ângulo central: em uma circunferência de raio \(r\), a corda que sustenta o ângulo central \(\theta\) tem comprimento \(2r\sin\dfrac{\theta}{2}\).
• Relação fundamental da trigonometria: \(\sin^{2}x+\cos^{2}x=1\).
• Fórmula de ângulo duplo: \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\).
• Relação fundamental da trigonometria: \(\sin^{2}x+\cos^{2}x=1\).
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